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SUR LE PROBLÈME DES CONTACTS.
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c’est-à-dire
iMl 2 (&a 2 + ...) = ^1X 2 +
et, en vertu de cette expression, l’équation qui sert à déterminer p se réduit à
ÜTII 2 + A\ 2 + ... - KWp 1 = 0
(20).
En la comparant avec l’équation K*L — 2KpM +p 2 N = 0, on obtient
L — II 2 + [A (4 + 4 +4) 2 + • • •]>
M— [A (4 +4 +4) (4i?i + 4^2 + 4ps) + •••]>
N = — K II 2 + [A (J1P1 + l-2p2 + hP»y +•••]> >
et de là, par une transformation déjà employée,
..(21),
M 2 — NL = O 2 = II 2 f— [J. (4^! + kp 2 + kps) 2 + •••]
-< +K[A (4 + 4+4) 2 + ...] + /m 2
à
L -..(22);
- [& {i?! (a, - Os) + 2>a (a* - «0 +i>3 («1 - a a)} 2 +...]
mais l’interpretation de ce résultat paraît être difficile.
En revenant sur l’équation trouvée pour la conique qui touche les trois coniques
données, remarquons que les signes de a 1 , Ai, r y 1 , ou de a 2 , ¡3. 2 , y 2 , ou de a 3 , fi 3 , y 3 ,
peuvent être changés conjointement. Cela revient en effet à écrire — V ly ou — V 2 , ou
— V 3 au lieu de +V ly ou de + V 2 , ou de + V 3 , ce qui ne change pas les coniques
inscrites. Mais il est facile de voir qu’en changeant à la fois les signes de V 1} V 2 , V 3 ,
on ne change pas l’équation de la conique dont il s’agit ; cette équation ne change non
plus, en changeant à la fois les signes de p ly p 2 , p 3 , il; de manière que l’équation
trouvée correspond réellement à 32 coniques différentes. En distinguant ces 32 coniques
par des symboles de la forme
(±V 1} ±14. ± Vs> ±Pi, ± Pi, ±Pa, +H):
quatre symboles tels que
(
F,
F,
Va,
Pi,
Pi,
Pi,
û).
(-
■Vu
-F„
-Va,
Pu
Pi,
Pa,
H),
(
F,
F,
Vg,
-Pu
Pi,
~Pa,
— if),
(-
• Fi,
-F,
— Va,
-Pl,
— Pi,
~Pa,
-iî),
ne se rapporteront qu’à une seule conique. Nous appelerons paires de coniques deux
coniques quelconques exprimées par des symboles de la forme
( F > V 2) V 8 , pi, p 2 , p 3 , + il) 5
donc les 32 coniques forment 16 paires, groupées quatre à quatre de deux manières
différentes : savoir, pour former un groupe, quatre paires telles que
(± F, ± F, F>, Pi, Pi, p 3 , ± H),
