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ХОТЕ SUR UN SYSTÈME DE CERTAINES FORMULES. 
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B A' = A"ab + B" (af + be) + C"ef, " 
BB' + © = A"ad + B" {ali + de) + G"eli, 
BB'-® = A"be + B"(bg + cf) + G'fg , 
BC' = A"cd + B" {ch + dg) + G"gh ; , 
GA' = A'V + 2B"bf + G"p , 1 
CB' = A"bd + B" (bh + df) + G'fh, Y (6); 
CG' = A"d? + 2B"dh + C"li 2 ; J 
® = B 2 -AG = B' 2 - A'C' = B" 2 - A"G" (7) 
= l (tt'-A 2 + b-g~ + c 2 / 2 + d 2 e- — 2ahbg — 2ahcf— 2ahde — 2bgcf— 2bgde — 2cfde + 4adfg + 4becli). 
En regardant la seconde et la troisième des équations (5) comme équivalentes avec 
la seule équation 2BB'= A" (ad+be) + B" (ah +de+ bg + cf) + C" (eh+fg), on trouvera que 
les systèmes (4, 5, 6) répondent à la transformation 
A" z? + 2B"z 1 z. 2 + G" zi = (A xi + 2Bx 1 x 2 + G xi) {A’yi + 2B'y i y 2 + G'yi) (8), 
z x = ax x x 2 + by x x 2 + cx x y 2 + dy x y 2 , 
z 2 = ex x x 2 + fy x x 2 + gx x y 2 + hy x y 2 , 
qui appartient à une théorie dont celle des transformations linéaires n’est qu’un cas 
particulier. 
Je profite de cette occasion pour donner une addition à la “ Note sur les hyper- 
déterminants ” (t. xxxiv.), [54]. J’y ai dit (§ ni.) que je ne pouvais pas expliquer la raison 
de ce que la courbe du sixième ordre donnée par les équations ae — 4bd + 3c 2 = 0 et 
ace + 2bcd — adi — eb 2 — c 3 = 0, ait une osculatrice développable qui n’est que du sixième 
ordre, mais que cette réduction s’opérait en partie au moyen des quatre points de 
rebroussement de la courbe. En effet, cette courbe, considérée comme l’intersection de 
deux surfaces, l’une du second et l’autre du troisième ordre, a six droites que dans 
le mémoire [30] cité dans cette note j’ai nommé droites par deux points : cela suffit pour 
compléter la réduction dont il s’agit. M. Salmon, à qui je dois cette remarque, m’a 
fait voir aussi que l’expression que j’ai donnée pour le nombre des points de rebrousse 
ment de la courbe, dans le cas d’une équation du m lème ordre, combinée avec les 
formules du mémoire mentionné, suffit pour former le tableau complèt des singularités 
de la famille de surfaces développables dont il s’agissait, savoir: 
m, n, r, a, /3, g, h, 
3 (m — 2), m, 2 (m — 1), 0, 4 {m — 3), ^ (m — 1) (m — 2), ^ (9n 2 — 53n + 80), 
y, 
2(w-2)0-3), 2 (-1)0-3). 
Ici, dans la ligne supérieure, m, n, r, a, /3, g, h, x, y ont les mêmes significations que 
dans le mémoire dont je viens de parler; et dans la ligne inférieure, m est le degré 
de l’équation primitive.