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95] NOTE SUR QUELQUES THÉORÈMES HE LA GÉOMÉTRIE DE POSITION. 
Ces hexagones ont pour angles les mêmes six points. Or l’existence de l’une ou de 
l’autre des droites ab .af, ab .bf suffit pour faire voir que ces six points sont situés 
sur la même conique : donc les côtés opposés du troisième hexagone se rencontrent 
dans trois points situés sur la même droite. De plus, on voit aisément que les 
hexagones sont précisément tels, qu’en vertu du théorème (a), les trois droites, auxquelles 
donnent lieu ces hexagones, se rencontrent dans un même point ; et ce point sera 
évidemment le point abf. Mais les côtés opposés du troisième hexagone, savoir les 
droites ab . bc et ab . ac, ab . bd et ab .ad ; ab. be et ab. ae, se rencontrent dans les 
points abc, abd, abf: donc les quatre points abc, abd, aie, abf sont situés sur la même 
droite : théorème dont il s’agissait. 
Pour démontrer le théorème (7), on n’a qu’à considérer les droites de ce théorème 
comme déterminées, 
ab . ac 
par les points bc . ad, 
bc . ae, bc . af, 
ac . ad 
9) 9) 
cd. ab, 
cd . ae, cd . af, 
ad. ab 
99 99 
bd. ac, 
bd . ae, bd . af. 
La table (©) se réduit alors 
à 
bc . ad. ef, 
da. de, 
da. df, 
cd .ab . ef 
ba. be, 
ba. bf, 
bd .ac . ef, 
ca .ce, 
ca .cf 
et la table (])) à 
(da. df) (da . de), af.de, ae . df 
(ba .bf) (ba .be), af.be, ae .bf, 
(c a. cf) (ca . c e), af. ce, ae.cf. 
Or les points de la deuxième colonne verticale sont situés sur la droite ea. ef, et les 
points de la troisième colonne verticale sur la droite fa ,fe. L’existence de l’une ou 
de l’autre de ces droites fait voir que les droites ab. ac, ac. ad, ad. ab se rencontrent 
dans un même point a. be. 
Pour démontrer le théorème (8), il est évident que les points de la première 
colonne verticale de la table qui vient d’être présentée, sont situés sur la même droite. 
Mais ces points sont précisément les points d .bc, b .cd, c .db; le théorème est donc 
démontré. 
[En remarquant que les trois droites sur lesquelles sont situés les neuf points de 
la table générale (D) se rencontrent dans un même point, cette démonstration de 
l’existence des droites X fait voir que la droite {bcd} passe par le point d’intersection 
des droites ae.af e,f .fa, savoir par le point afe; ou bien que chacune des vingt droites 
X passe, non seulement par trois points h, mais aussi par un seul point g. Ce 
théorème est dû à M. Salmon, qui indépendamment de mes recherches à trouvé 
l’existence des vingt droites X. 8 août 184$. Inserted here front Crelle, t. xli. p. 84] 
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