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MÉMOIRE SUR LES CONIQUES INSCRITES 
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qui sont les plans des coniques dans lesquelles se coupent les deux cônes circonscrits. 
Ces deux plans peuvent être nommés Plans de symptose. Les plans de symptose et 
les points d’homologie ne sont pas seulement des figures réciproques : les deux plans 
de symptose passent aussi par les deux points d’homologie, chacun par le point 
réciproque de l’autre plan ; c’est à dire : les plans de symptose sont des plans conjugués 
par rapport à la surface du second ordre, et les points d’homologie sont des points 
conjugués par rapport à cette même surface. Remarquons aussi qu’en considérant le 
système formé par les plans des coniques inscrites et les plans tangents à la surface 
menés par la droite de symptose, on trouvera que les plans de symptose sont les plans 
doubles (ou si l’on veut les plans auto-conjugués) de l’involution. De même, en 
considérant le système formé par les sommets des cônes circonscrits et par les points 
de leur intersection avec la surface de la droite d’homologie, on trouvera que les points 
d’homologie sont les points doubles (ou auto-conjugués) de l’involution. Les deux cônes 
circonscrits qui ont pour sommets les deux points d’homologie, peuvent être nommés 
Cônes d’homologie ; de même, les deux coniques inscrites, situées dans les deux plans de 
symptose, peuvent être nommées Coniques de symptose. (En passant, nous remarquerons 
que ces coniques de symptose correspondent aux Potenzkreise de M. Steiner.) Il est 
évident que les cônes d’homologie et les coniques de symptose sont des figures réciproques. 
En considérant trois coniques inscrites, et les cônes circonscrits correspondants, on 
verra que les plans des coniques inscrites se rencontrent dans un point que je 
nommerai Point de symptose. Les sommets des cônes circonscrits seront situés dans 
un plan que je nommerai Plan d’homologie. Ce point et le plan seront réciproques 
l’un à l’autre. En combinant deux à deux les coniques inscrites ou les cônes circon 
scrits, cela donne lieu à trois droites de symptose qui passent chacune par le point de 
symptose, et à trois droites d’homologie situées chacune dans le plan d’homologie. Il 
existe aussi six plans de symptose qui se coupent trois à trois dans quatre droites, arêtes 
d’une pyramide quadrilatère qui a pour axes les trois droites de symptose. Les quatre 
droites dont il s’agit, peuvent être nommées Axes de symptose. Il existe également six 
points d’homologie, situés trois à trois dans quatre droites, côtés d’un quadrilatère qui 
a pour axes les trois droites d’homologie. Les quatre droites dont il s’agit, peuvent 
être nommées Axes d’homologie. La pyramide et le quadrilatère sont des figures 
réciproques, et il convient de remarquer (quoique cela soit assez évident) qu’il y a ici 
trois points d’homologie, non-situés dans un des côtés du quadrilatère, mais contenus 
dans trois points de symptose qui se coupent dans une arête de la pyramide. 
Par l’un quelconque des axes d’homologie il passe deux plans dont chacun touche 
les trois coniques inscrites ; de même il se trouve sur l’un quelconque des axes de 
symptose deux points, dont chacun est un point d’intersection des trois cônes circonscrits. 
Cela constitue la solution du problème : Trouver la conique inscrite, ou le cône 
circonscrit, qui touche trois coniques inscrites, ou trois cônes circonscrits. Il y a huit 
solutions de ce problème. 
Avant d’aller plus loin, je vais indiquer quelques-unes des formules analytiques 
correspondantes à la théorie qui vient d’être expliquée.