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DANS UNE MÊME SURFACE DU SECOND ORDRE. 
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Écrivons, pour abréger : 
U = Ax 1 + By 9 - + Gz 9 + Diu 9 + 2 Fyz + 2 Gxz + 2 Hxy + 2 Lxw + 2 Myw + 2 Nzw, 
V= 0.x + fiy + l z + & w > 
et représentons par 21, 55, S, 2), ¿Q, 2, -SI, 91 les coefficients du système inverse 
de A, B, G, D, F, G, H, L, M, N. Soit de plus 
X = Ax + Hy + Gz + Lw, 
p> = 2la 2 + 53/3 2 + % 2 + 2)8 2 + 2 g/3 7 + 2@ 7 a + 2£a/3 + 2%*8 + 2W/38 + 2 
Cela posé, en prenant U — 0 pour équation de la surface du second ordre, et 
V 1 — 0, V 2 = 0, V 3 = 0 pour les équations des plans des coniques inscrites, on obtient 
pour l’un des plans de symptose des coniques inscrites (U = 0, V 1 = 0), (U—;0, V 2 = 0) 
l’équation très simple =p 1 V a = 0. De là on tire pour les coordonnées du point 
d’homologie, qui est le réciproque de ce plan de symptose, les équations 
X : Y : Z : W=p 2 « 1 -p 1 a 2 : -p 1 B 2 ■ Paji-piy* ■ pA~pA- 
En formant également les expressions des coordonnées d’un point d’homologie des 
deux autres paires de coniques inscrites, on obtient pour équation de l’un des axes 
d’homologie : 
X, 
y, 
Z, 
W 
Pl, 
«1, 
fil, 
Sx 
p*> 
«2, 
fi 2, 
72, 
S 2 
Pz> 
«3, 
fis, 
7a, 
Ss 
savoir, en choisissant quatre colonnes verticales quelconques de cette formule, on trouve 
que les déterminants que l’on obtient, sont tous égaux à zéro. 
Nous ajouterons que la droite qui, par rapport à la conique (Z7=0, V 1 = 0), est 
réciproque de cet axe d’homologie, est donnée par les équations 
V 1 = 0, V 2 : V 3 =p 1 p 2 - - ... : p x p z - 21 && - ... ; 
il est clair que cette droite rencontre la surface du second ordre en deux points 
situés dans les plans des coniques inscrites qui, au moyen de l’axe d’homologie dont 
l’équation vient être donnée, sont déterminés de manière à toucher les trois coniques 
inscrites données. Mais sans se servir des équations de cette droite, on peut déterminer 
l’équation des deux plans menés par l’axe d’homologie dont il s’agit, de manière à 
toucher la conique inscrite ( U = 0, V 1 = 0) ; et la symétrie du résultat fera voir que 
ces deux plans touchent aussi deux autres coniques inscrites. La recherche de cette 
équation étant un peu difficile, je la donnerai en détail, en supposant cependant connu 
le théorème suivant : 
En écrivant v = \x + py + vz + pw, v = X'x + p!y + v z + pw : les plans menés par la 
droite (v = 0, v = 0) de manière qu’ils touchent la conique inscrite ( U = 0, V= 0), sont 
donnés par l’équation 
p- [21 O' - Va) 2 +...]- [21« (AV - Vu) + .. .] 2 = 0.