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DANS UNE MÊME SURFACE DU SECOND ORDRE. 
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En revenant à la théorie géométrique, considérons un point quelconque que nous 
prendrons pour point de projection : le cône qui passe par une conique inscrite quel 
conque aura (comme on sait) un contact double avec le cône qui a pour sommet le point 
de projection. Le plan de contact sera le plan mené par le point de projection et pai 
la droite d’intersection du plan de la conique inscrite et du plan réciproque au point de 
projection. En considérant plusieurs coniques inscrites ayant une droite de symptose 
commune, tous les cônes auxquels donnent lieu ces coniques inscrites, auront pour 
arêtes communes les deux droites menées par le point de projection aux points dans 
lesquels la surface est rencontrée par la droite de symptose commune. Ajoutons que 
les plans de contact des cônes dont il s’agit, avec le cône circonscrit, rencontrent le 
plan des deux arêtes communes dans une droite fixe, savoir dans l’une ou l’autre des 
droites doubles (ou auto-conjuguées) de l’involution formée par les deux arêtes communes 
et par les droites dans lesquelles le plan de ces deux arêtes communes rencontre le 
cône circonscrit. De plus, en considérant les plans tangents menés par l’une ou par 
l’autre des deux arêtes communes, ces plans tangents forment un système homologue 
à celui des plans des coniques inscrites. En considérant en particulier l’une ou l’autre 
des coniques de symptose de deux coniques inscrites quelconques : le plan tangent du 
cône correspondant est le plan double (ou auto-conjugué) de l’involution formée par 
les plans tangents des cônes qui correspondent aux deux coniques inscrites (c’est à dire 
par les plans tangents qui passent par l’arête commune dont il s'agit), et par les 
plans tangents de la surface du second ordre menés par cette même arête commune. 
C’est là en effet la propriété qui conduit à la construction des coniques de symptose 
de deux coniques situées dans le même plan et considérées comme inscrites dans une 
conique donnée.