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97. 
NOTE SUE LA SOLUTION DE L’ÉQUATION ce 257 - 1 = 0. 
[From the Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle), tom. xli. (1851), 
pp. 81—83.] 
Soit p m la m ième puissance d’une racine quelconque (l’unité exceptée) de l’équation 
x 257 — 1 = 0, et représentons par a une racine quelconque (l’unité exceptée) de l’equation 
a 236 _ i = o. En posant l’équation 
(po + a lh +<*%...+ a 255 p 255 ) 2 = M(p 0 + cep, + a 4 p,... + a 25i p. 255 ), 
on sait que la quantité M peut être exprimée en fonction rationnelle de a. Cette fonction 
une fois connue, donnera tout de suite la valeur de l’expression (p n + ap 1 + a?p 2 ... + a 255 p 255 ) 256 
en fonction rationnelle de a, et cela suffît pour résoudre l’équation dont il s’agit. 
Une solution du problème a été donnée depuis longtemps par M. Richelot (pii 
commence par supposer que a soit une racine primitive de l’équation a 128 —1=0. Cette 
solution est comprise, comme cas particulier, dans celle que je vais donner. La question 
est d’ailleurs intéressante, à cause de son rapport avec la théorie des nombres. En 
effet, quoiqu’en tant que je sache l’on n’a pas encore trouvé la règle pour former à 
priori la valeur de M, il est clair que les recherches de MM. Jacobi et Kummer 
doivent conduire à cette règle. Le résultat ici bas pourra servir pour la vérifier. 
Voici la valeur que j’obtiens pour la fonction M : 
M = — 2 + 2a — 2a 4 + 2a s + 2a 7 + 2a 9 — 2a lü — 2a 14 — 2a 16 + 2a 21 + 2a 23 
+ 2a 25 - 2a 26 - 2a 28 + 2a 29 - 2a 30 + 2a 33 - 2a 34 - 2a 36 + 2a 37 - 2a 38 + 2a 45 
+ 2a 47 — 2a 48 4- 2a 49 — 2a 50 + 2a 51 + 2a 53 — 2a 34 — 2a 60 + 2a 61 — 2a 64 + 2a 83 
- 2a 66 + 2a 67 - 2a 68 + 2a 69 - 2a 72 - 2a 74 + 2a 7B - 2 a 76 + 2a 79 - 2a 80 - 2a 82 
- 2a 84 - 2a 86 + 2a 89 - 2a 92 - 2a 94 - 2a 100 + 2a 101 - 2a 104 - 2a loa - 2a 108 + 2a 109 
+ 2a 111 + 2a 113 - 2a 114 + 2a 115 + 2a 117 + 2a 119 - 2a 122 + 2a 123 - 2a 124 + 2a 127 - 2a 128 
+ 2a 129 - 2a 130 - 2cc 134 + 2a 135 - 2a 138 + 2a 141 + 2a 145 + 2a 147 + 2a 151 + 2a 153 - 2a 154 
- 2a 156 - a 160 + 2a lsl + 2a 163 - 2a 164 + 2a 163 - 2a 186 + 2a 171 + 2a 177 + 2a 181 - 2a 182 
q. 2a 183 — 2a 186 + 2a 187 + 2a 189 - 2a 190 — 2a 192 + 2a 195 — 2a 196 — 2a 198 + 2a 199 — 2a 206 
- 2a 212 + 2a 213 - 2a 214 + 2a 215 - 2a 216 + 2a 217 - 2a 220 + 2a 221 + 2a 223 + 2a 223 - 2a 228 
+ 2a 227 - 2a 228 + 2a 229 + 2a 233 - 2a 234 + 2a 233 - 2a 238 + 2 J 37 - 2a 238 + 2a 239 - 2a 240 
+ 2a 243 - 2a 244 - 2a 248 + 2a 247 - 2a 248 + 2a 249 - 2a 232 - 2a 254 .