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NOTE SUR LA THÉORIE DES HYPERDÉTERMINANTS. 
[From the Journal für die reine und angewandte MathematiJc (Crelle), tom. xlii. (1851), 
pp. 368—371.] 
Dans la théorie dont il s’agit, je suis parvenu à un théorème qui pourra, à ce 
qu’il me paraît, conduire à des développements intéressants. 
Je ne considère ici que le cas d’une fonction homogène à deux variables, et en 
me servant des nouveaux termes de M. Sylvester, je nomme Govariant d’une fonction 
donnée, toute fonction qui ne change pas de forme en faisant subir aux variables des 
transformations linéaires quelconques, et Invariant toute fonction des seuls coefficients 
qui a la propriété mentionnée. 
Cela posé, soit U une fonction donnée quelconque, du degré n par rapport aux 
variables, et, comme à l’ordinaire, contenant des coefficients arbitraires a, b, c, &c. 
Soit Q un covariant quelconque (y compris le cas particulier où Q est un invariant) 
de la fonction U, s le degré de Q par rapport aux variables, r le degré de cette 
même fonction Q par rapport aux coefficients. En supposant que la fonction U ait un 
facteur 6 V (où 6 = Ix + my est une fonction linéaire des variables), ou autrement dit, en 
supposant l’équation U — 6 v V, je dis que le covariant Q contiendra ce même facteur 
6 élevé à la puissance rv {rn — s). 
En effet, en se rappelant la méthode dont je me suis servi dans la seconde partie 
de mon mémoire sur les Hyperdéterminants (t. xxx. de ce Journal, [16]) (je suppose que 
le lecteur ait ce mémoire sous les yeux), on verra que cette fonction Q, supposée, 
comme plus haut, du degré r par rapport aux coefficients, sera nécessairement de la 
forme 6 
Q = 12“ 13 23 V ... U&... U r , 
puisque les coefficients n’entrent dans Q que par les fonctions U 1 , U 2 , &c. Or Q étant 
du degré s par rapport aux variables, on obtient s =rn— 2(a + /3 + y + ...), c’est à dire: 
CL + /3 + y ... = (rn - s). 
Cela posé, puisque U — 6 v V, on aura de même U 1 = 0 1 v V 1 , TJ 2 = 6^V 2 , &c. Les 
expressions 12, &c. qui entrent dans l’expression de Q contiennent d Xl , d Vi , &c.: symboles 
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