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NOTE SUE, LA THEORIE DES HYPERDETERMINANTS. 
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qui doivent être remplacés par d Xx + Idg i , d Vl + md ei , &c. en supposant (comme il est 
permis) que les nouveaux symboles d Xl , d Vl , &c. ne se rapportent plus à 0jV x , &c., 
mais seulement à V 1} &c. Cela donne 
12 = (d Xl + ld 0l ) (9 Vt + md e ,) - (d Xî + Td 0t ) (d Vi + md 0l ) 
= d Xl 9 y - d Xi d Vl + (ldy 2 - md Xi ) 9 fll - (ld Vl - md Xj ) 9 0J ; 
c’est à dire : 12 est une fonction linéaire par rapport à d 0l , d 0i , et il en sera de même 
pour les expressions analogues 13, 23, &c.: donc le nombre des différentiations par 
rapport aux quantités 0 1} 0 2 , &c., prises ensemble, ne surpasse pas a¡3+ <y + ..., ou 
\{rn — s). Or l’expression à différentier contient le facteur 0J0 2 ... 0 r v ; donc, en remettant, 
après les différentiations, 6 au lieu de 0 1} 0 2) ...0 r , la fonction Q contiendra le facteur 
0 élévé à la puissance rv — (rn — s). 
Tout cela suppose implicitement que l’on ait rv — \ {rn — s)< s. Or le même 
raisonnement, modifié très peu, fait voir aussi que pour 
rv — \ (nr — s) > s, 
ou plus simplement pour 
r{v- \n) > |s, 
la fonction Q doit s’évanouir d’elle-même, savoir en établissant entre les coefficients de 
U les relations qui expriment l’existence du facteur 6 V . De là on tire le théorème 
suivant : 
Etant donnée une fonction U du degré n, tout covariant du degré r par rapport 
aux coefficients et du degré s par rapport aux variables, s’évanouit en supposant que 
la fonction U ait un facteur 0 pour lequel r{v — \n) > ¿s ; et en particulier : 
Un invariant quelconque de la fonction TJ s’évanouit en supposant que la fonction 
TJ ait un facteur 0 V , pour lequel v > \n. 
En mettant n — 2m ou 2m+ 1, Yinvariant s’évanouit en supposant que TJ ait le 
facteur 0 m+1 . 
Les conditions pour que la fonction TJ ait un tel facteur, se trouvent en égalant 
à zéro les coefficients différentiels de TJ du m lème ordre par rapport aux variables x, y, 
et en éliminant ces variables. 
Mais avant d’aller plus loin il convient d’entrer dans quelques détails de la 
théorie d’une telle élimination. Je prends l’exemple le plus simple, et je suppose que 
l’on ait à éliminer x, y des équations 
ax + by = 0, 
bx +cy = 0, 
ex +dy = 0. 
On est habitué à dire que ce système équivaut à deux équations entre les seuls 
coefficients : mais cela n’est juste que dans un sens qui manque de precision. Le 
système équivaut plutôt à deux relations entre les coefficients, et ces deux relations 
sont exprimées par les trois équations, bd — c 2 = 0, bc — ad= 0, ac — b 2 = 0. Il n’est pas