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NOTE SUE, LA THÉOKIE DES HYPERDÉTEEMINANTS. 
vrai que deux de ces équations embrassent nécessairement la troisième. En effet, la 
première et la seconde équations sont satisfaites en écrivant c = 0, d = 0, mais ces 
valeurs sont absolument étrangères à la question, et ne satisfont pas à la troisième 
équation, de manière que toutes les trois équations sont nécessaires pour exprimer les 
relations entre les coefficients. C’est pourquoi je dis que ces trois équations sont des 
résultats distincts de l’élimination. Et de même, pour un système quelconque d’équa 
tions, le nombre des résultats distincts de l’élimination n’est pas généralement à beaucoup 
près si faible que le nombre des relations entre les coefficients. Qu’on veuille consulter 
sur ce sujet mon mémoire “ On the order of certain Systems of algebraical équations,” 
Cambridge and Dublin Mathematical Journal, t. IV. [1849] pp. 132—137 [77], et le mémoire 
de M. Salmón “ On the Classification of curves of double curvature,” t. Y. [1850] pp. 23—46. 
Je reviens à l’objet de cette note, et je suppose qu’en égalant à zéro les coefficients 
différentiels du m ième ordre de la fonction U, les équations P = 0, Q — 0, R — 0, &c. 
forment le système entier des résultats distincts de l’élimination. Un invariant quelconque 
I s’évanouira en supposant P = 0, Q = 0, R = 0, &c. Il doit donc exister une équation telle 
que Xi = aP + ¡3Q + y R + ..., où X, a, /3, y... sont des fonctions rationnelles et intégrales 
des coefficients. Mais de plus, la fonction X doit être purement numérique, ou ce qui 
est le même, doit se réduire à l’unité, car autrement I —0 serait un résultat de l’élimi 
nation différent des résultats P = 0, Q — 0, R = 0, &c., et ces équations ne seraient plus 
le système entier des résultats distincts. Donc enfin: un invariant quelconque I sera 
exprimé par une équation telle que 
I = aP + ¡3Q + y R + ..., 
a, /3, y, ... étant des fonctions intégrales et rationnelles des coefficients. 
Les résultats que je viens d’obtenir s’accordent parfaitement avec ceux dans ma 
“ Note sur les hyperdéterminants,” t. xxxiv. [1847] pp. 148—152 [54]. En effet, j’y 
ai fait voir qu’en supposant qu’une fonction aseé + \bx?y + 6cx 2 y 2 + 4tdxy 3 + ey i ait un 
facteur (a.x -f /3g) 3 , l’élimination des variables entre les équations 
ax 2 + 2bxy + c y 2 = 0, 
bx 2 + 2 cxy + dy 2 = 0, 
ex 2 + 2 dxy + ey 2 = 0, 
donne lieu aux équations ae — 4>bd + 3c 2 = 0, ace + 2bed — ad 2 — b 2 e — c 3 = 0 ; et les fonctions 
égalées à zéro sont en effet les seuls invariants de la fonction du quatrième ordre. 
J’ajoute que la théorie actuelle fait voir aussi que dans le cas dont il s’agit, la dérivée 
(ax 2 + 2 bxy + cy 2 ) (ex 2 + 2dxy + ey 2 ) — (bx 2 + 2 cxy + dy 2 ) 2 , 
ou son développement 
(ac — b 2 ) ofi + 2 (ad — bc) x 2 y + (ae + 2bd — 3c 2 ) x 2 y 2 + 2 (be — cd) xy 3 + (ce — d 2 ) y 4 , 
se réduit (à un coefficient constant près) à (ax + /3yY : et au cas où la fonction donnée 
du quatrième ordre est supposée être un carré, cette fonction et la dérivée qui vient 
d’être écrite sont égales à un facteur constant près ; résultat dont je me suis servi 
ailleurs. 
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