130] DEUXIÈME MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 155 
laquelle (en écrivant m = r cos 0, n—r sin 0, ce qui donne, comme on sait, dm dn = rdr dff) 
devient 
d’où 
en prenant (logr) entre les limites convenables. Pour trouver ces limites, j’écris 
(m, n) + y = r (il cos 6 + T sin 6) + y ; 
ce qui donne 
mod. 2 {(m, n) + y] = {r (il cos 6 + T sin 0) + y) {r (il* cos 0 + T* sin 0) + y*}, 
savoir, à l’une des limites 
r 2 (il cos 0 + T sin 6) (il* cos 0 + T* sin 0) 
+ r {y* (il cos 0 + T sin 0) + y (il* cos 0 + T* sin 0)} + T 2 = O ; 
ou, en négligeant les puissances négatives de T, 
T 
r = 
V(il cos 0 + T sin 0) (il* cos 0 + T* sin 0) 
et à l’autre limite, 
T 
V(il cos 0 + T sin 0) (il* cos 0 + T* sin 0) 
Or, en représentant ces deux équations par 
r = R — <f>, r = R, 
on trouve, pour la valeur de (log?-) entre les deux limites, 
r = 
à cause de la valeur infinie de R. Ainsi la somme cherchée est nulle ; et il est tout 
clair que les sommes suivantes ^ > &c., se réduisent de même à zéro. 
( m. n. 
(m, nj