130] DEUXIÈME MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 157 
En revenant au problème des transformations linéaires, partant des équations 
(2k + 1) Q t = XÎ2 + pT, 
(2k + 1) T, = vkl + pT, 
je suppose d’abord que les coefficients X, v ne satisfassent pas à la fois aux deux 
conditions 
X e 0, v e 0, mod. (2k + 1), 
et je prends p, q des entiers quelconques tels, que \p + vq ne soit pas = 0, mod. (2k +1). 
Cela étant, soient 
\p + vq =p n 
pp + pq =q„ 
(2k + l)Ÿ = p / n + q / T, 
et, par conséquent, 
^=pÇl / +qT r 
Je forme l’équation 
(m n n / ) + syfr = (m, n)„ 
savoir 
m+ w,T + s-y}r = mfL / + nT /} 
c’est-à-dire 
Xm + vn — sp / = (2k + 1 )m / , 
pm + vn — sq / = (2k + 1) n t , 
ou, ce qui est la même chose, 
m — sp = m / p — n y v, 
n — sq — m / p — n t \. 
Or, m /} n /} s étant des entiers donnés, m, n seront aussi des entiers; de même, m, n 
étant des entiers donnés, on trouve de k à —k un entier s qui donne m / un entier. 
Mais cela étant, n / sera aussi un entier ; car autrement n / serait une fraction ayant 
pour dénominateur, lequel on voudrait, des nombres 2k + 1, X, v, ce qui est impossible 
à moins que 
X e 0, v E 0, mod. (2& + 1). 
Mais si ces équations avaient lieu, on trouverait d’abord s de manière à avoir n / entier, 
et alors, puisqu’on n’a pas aussi 
p e 0, p = 0, mod. (2k + 1) 
(en effet, cela est impossible à cause de l’équation Xp — pv = 2k +1), on démontrerait, 
comme auparavant, pour n p que m / est entier. Donc, enfin, m, n étant des entiers 
donnés, on trouve pour m /} n t , s un système d’entiers tel que s soit compris de & à —k, 
et l’on voit sans peine qu’il n’y a qu’un seul système de cette espèce.