158 DEUXIÈME MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. [130 
) + y. 
A présent, partant de l’équation 
y ( æ + y) _ e -^Bx'2 mod. (wu'-üj'u) y ) ' qq (q _| x 
y (y) ' ' 1 K» n,) 
(et faisant attention à la particularité que présente le cas de y = 0), j’écris successivement 
y = 0, y=±Ÿ>•••» y == ±W r > 
et je forme le produit des équations ainsi trouvées. Cela donne, à cause de (m / , w / ) -f- syjr 
= (m, n\, 
n y(y+ff) = e -i(sfc+D |l 
yW 
+ 
(m, «),j ’ 
la condition, par rapport aux limites, étant 
mod. (m, n) t <T, T = oo . 
Or 
y,® =€-**'*. œil-fl +7-^-1, 
( (w, w),J 
avec la même condition, par rapport aux limites ; donc, enfin, 
V x= |J fyÇî+üWl , 
y ' l yW) )’ 
où, dans le numérateur, s doit avoir toutes les valeurs entières depuis s= — k jusqu’à 
s = + k, y compris s = 0, et dans le dénominateur ces mêmes valeurs, hormis la valeur 
s = 0. 
Il est, à présent, facile de faire voir que cette propriété subsiste pour Tune 
quelconque des fonctions yx, gx, Gx, Zx ; en effet, pour la démontrer pour gx, j’écris 
x + ^il au lieu de ¡s; en prenant, pour un moment, p = 2p' + 1, p, = 2pi, cela donne 
x + %£l = + (p', - fi), 
y / (x + -Jil) = eP' x{ ê > Mg,x = e^' x{p ’ p) -M / gx, 
c’est-à-dire 
y,(x+\a)_ Uxu 
s ‘ 
Or, on déduit de l’expression pour y / x, 
¿-».feu, y,(”+W 
‘ jAW 
— e -hP,x (p, m) / e ~i (B,-2k+iB) (X2+ÜX) qq y {x + syfr + ^il) 
y (sf + №) 
— g—hP.X lp, Pi J € ~i (B,—2k+lB)X 2 e i (2fc+l) pnx qq 
g (x 4- syfr) 
g(sf)