160 DEUXIÈME MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. [130 
Or, quoique les valeurs de A,, p, v, p ne soient pas complètement déterminées au 
moyen de ces conditions, cependant il est clair que la valeur de la fonction J t x ne 
dépend que des valeurs de p /} q, (en effet, ces valeurs suffisent pour déterminer la 
quantité = q-^T, de laquelle dépend la fonction J y x). Les formes différentes de 
J\x, pour les systèmes de valeurs de A, pu, v, p, qui correspondent à des valeurs 
données de p,, q n doivent donc se dériver de l’une quelconque de ces formes, au moyen 
d’une transformation triviale des modules iî / , T y . Il est, de plus, clair que les valeurs 
de p t , q n qui sont égales à des multiples de (2k +1) près, ne donnent qu’une seule 
valeur de J,x. Je suppose d’abord que 
V, = o, 
mod. (2k +1), 
on peut trouver un 
entier 6 tel que 
6p y = 1, 
mod. (2k + 1) ; 
en prenant alors 
III 
ci 
mod.(2& +1), 
cela donne 
e(p / n+q / T / ) = n+q / T, 
mod. (2k + 1), 
savoir 
or = il + q, T, 
mod. (2k + 1). 
Mais en donnant à s des valeurs entières quelconques, depuis — k jusqu’à k, le système 
des valeurs de syjr est équivalent au système des valeurs de sO-y^, mod. (2&+1); il est 
donc permis d’écrire, sans perte de généralité, 
Ÿ = il + q;r. 
De même pour 
p t = 0, mod. (2k +1), 
on démontre que l’on peut donner à q t une valeur quelconque, sans changer pour 
cela la valeur de J,x ; il convient d’avoir p t impair et q t pair. J’écris donc, pour le 
premier cas, 2q / au lieu de q y , et je suppose que, dans le deuxième cas, les valeurs 
de p y , q y soient 
p y = 2k +1, q, — 2. 
Cela donne : 
Premier cas. 
'P = il + 2q/T, 
q, un entier quelconque, y compris zéro, depuis —k jusqu’à + k. 
Deuxième cas. 
■'P = (2k +1) iî + 2T ; 
le nombre des valeurs différentes de 'SP' sera donc, en tout, 2k + 2.