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NOUVELLES RECHERCHES SUR LES COVARIANTS. 
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où les quantités a 1 , a 2 , ..., en tant qu’elles entrent dans le symbole O, sont censées 
affectées des symboles d tti , d a . 2 , &c. de la différentiation; de manière que dans le développe 
ment, □ 2 -4> par exemple, signifie G . O 0, et ainsi de suite. Je ne m’arrête pas sur 
ce point, parce que pour ce que je vais démontrer de plus important, il suffit de faire 
attention à la première puissance de A. D’ailleurs l’intelligibilité des équations dont 
il s’agit, sera facilitée en faisant les développements et en comparant les puissances 
correspondantes de A. Cela donne par exemple: 
□ 2 = G 2 + 2U lt G :i = □ :i + 3DG 1 + 6D 2 ,' &c. 
où les symboles G 2 , Q :î &c. à gauche de ces équations dénotent la double, triple, &c. 
répétition de l’opération G, tandis qu’à côté droit des équations, les quantités a lf a 2 ,... &c., 
en tant qu’elles entrent dans les symboles G, Ch, &c. sont censées ne pas être 
affectées des symboles d ai , d a2 , &c. de la différentiation. Dans la suite, si le contraire 
n’est pas dit, je me servirai des expressions G 2 , G 3 , &c. pour dénoter les répétitions de 
l’opération, et de même pour les combinaisons de deux ou de plusieurs symboles. 
Cela étant, l’équation 0' = e K([ ?~ y9x) 0=0 donne 
(f)= {1 (ü - yd x ) + - yd x ) 2 + ...}</>, 
où (G — yd x ) 2 . 0 (je le répète) équivaut à (G — yd x ). (G — yd x )<f> ; et ainsi de suite. Il 
faut d’abord que le coefficient de A s’évanouisse, ce qui donne (G — yd x ) 0 = 0 ; et cette 
condition étant satisfaite, les coefficients des puissances supérieures s’évanouissent d’elles- 
mêmes ; c’est-à-dire, l’équation (X) sera satisfaite en supposant que 0 satisfait à l’équation 
aux différences partielles (G — yd x ) 0 = 0. 
En posant 4 
□ = a n da n _ x + 2a n _ x d a ^ ... + na.d^, 
rn o , o o , n ( n ~ 1) O 
L--*i — ^ n ^a n _ 2 ”1" ^a n _ 3 ••• “t" j g 
GIn—i — 
on fera un raisonnement analogue par rapport à l’équation (F) ; et il jsera ainsi démontré 
que 0 doit satisfaire aussi à l’équation à différences partielles (□ — œd y ) 0=0; donc 
enfin, on a le suivant 
Théorème. Tout covariant cf> de la fonction 
(a 0 , ai, ... an) (as, y) 11 , 
satisfait aux deux équations à différences partielles 
(G — yd x ) 0 = 0, (□ - xd y ) 0 = 0, (A) 
où 
□ = a 0 d ttl + 2a 1 d tta ... + na n - 1 d ttn , 
□ = ria,d % + (n - 1)0*3«, ... + a n da n _ x ;