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□A = (ÜA), Ag=(AÜ)-y^. 
[131 
;é, je dis que 
ur démontrer 
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censées non 
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in on obtient : 
s au covariant 
et l’équation 
(5) 
it le covariant 
>ncé ci-dessus, 
les 'pesanteurs 
-mes extrêmes 
La première 
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131] NOUVELLES RECHERCHES SUR LES COVARIANTS. 169 
De même, la seconde équation donne 
ÙA s = 0, UA^A,, ÙA s _ 2 = 2A S _ 1 , ... ÙA 0 = sA i: (/3) 
système qui équivaut aux deux équations 
□ s+1 ^l 0 = 0, 0 —afe^^. A 0 (/3') 
On voit que A 0 satisfait aux deux équations 
QA 0 = 0, Ù s+l A 0 =0, ( 7 ) 
et en supposant que cette quantité soit connue, on trouve les autres coefficients 
Ai, A 2 , ...,A S par la seule différentiation, au moyen des équations (/3). Or cela étant, 
je dis que les équations (oc) seront satisfaites d’elles-mêmes. En effet : des équations 
□A=0, on tire □□¿0=0, □CU 0 =sÇU 1 , et de là (□□ - □□)A 0 = - sDA^ 
Or nous avons^ déjà vu^ que □□ — □□ = 2®, et l’équation (B) donne ®.ff 0 +|s.^l 0 =0 : 
donc l’équation (□□ — □□)-4 0 = — sGff-! se réduit à A 0 =L3A 1 : équation du système 
(a). De la même manière on obtient les autres équations de ce système. On peut 
dire que l’on aurait pu déterminer également le coefficient A s au moyen des équations 
DA S = 0, D s .^ = 0, (S) 
et de là les coefficients A s _i, ... A 0 par les équations (a). 
Prenons par exemple un covariant (A 0 , A 1} A 2 ) (x, y) 2 de la fonction cubique 
ax s + 3bx 2 y + 3cxy 2 + dÿ\ A 0 doit satisfaire aux deux équations 
(adb -f 2bd c 4- 3c3 d )ff 0 = 0, (3bd a + 2c3^ + dd c ) 3 A 0 = 0. 
Ces équations sont en effet satisfaites en mettant A 0 = ac — b 2 . On a donc les équations 
2 A-! = (3 bd a + 2 cd b -f dd c )A 0 , A 2 = (3bd a + 2cd b + dd c )A u 
pour déterminer A 1} A 2 ; ce qui donne 2A 1 = ad — bc, A 2 — bd—c 2 , et on est conduit 
ainsi au covariant mentionné ci-dessus, savoir à 
(ac — b 2 )x 2 + (ad — bc) xy + (bd — c 2 ) y 2 . 
Soit maintenant 
■x^yda 
± y 11 da = A, 
on aura