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SUR UN THÉORÈME DE M. SCHLÂFLI.
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Cela étant, soit $ = 0 le résultant des équations TJ = 0, V = 0, c’est-à-dire l’équation
que l’on obtient en éliminant x, y entre les équations TJ = 0, V = 0, ou autrement dit,
soit $ le résultant des fonctions U, V. Pour fixer les idées j’écris la valeur de ce
résultant comme suit :
0 =
a,
a, 3b, 3c, d
36, 3c, d
a, 2/3, 7
a, 2/3, 7
a, 2/3, 7
Je suppose que les opérateurs 21, 23, S opèrent sur le résultant $, ce qui donne les
fonctions
21$, 23$, (S$,
ou en écrivant pour 21, 23, (S leurs valeurs :
( %da + Irfib + $Çdc) $,
(i£d& + + Çdd) $>
( %da + + Çdy) $>
et en considérant ces
résultant <ï>, savoir
expressions comme des fonctions
<P= d a cf>, %d b cf), |0 C $
$d c <f), d d (f>
d a (f>, d y (f)
de f, rj, Ç, j’en forme le
Ce résultant <ï> contiendra le carré de $ comme facteur; c’est ce qui donne, dans le
cas particulier dont il s’agit, le théorème de M. Schlàfli.
Généralement, en supposant que l’on ait autant de fonctions TJ, V, W, ... que
d’indéterminées x, y, z,..., on peut supposer que p, q, ... soient des monômes x l y m z n ,...
du même degré X (il n’est pas nécessaire d’avoir la série entière de ces monômes),
et on peut former des opérateurs 21, 23, &c. en même nombre que celui des monômes
p, q, ... avec les indéterminées £, rj, ... , tels que ces opérateurs 21, 23, ..., opérant sur
les fonctions TJ, V, W, ... (chacun sur la fonction à laquelle il appartient), donnent
t(p£ + qv ...y, t' (P% + qv ..‘Y') &c.; &c. étant des monômes de la forme xfy g z h ....
Cela étant, soit $ le résultant des fonctions TJ, V, W, ... ; en opérant sur ce
résultant (/> avec les opérateurs 21, 23,... et en formant ainsi les fonctions 21 $, 23$,...,
soit <ï> le résultant de ces expressions considérées comme des fonctions de £, 77, &c.
<ï> contiendra une puissance de $ comme facteur, et en supposant que ¡x ne soit plus
petit qu’aucun autre des indices ;x, f,... \ 7r = /x/x ... ; et cr = - + —+..., l’indice de
M M .
cette puissance sera au moins a — —. Voilà le théorème général de M. Schlàfli.
