184 
SUR UN THÉORÈME DE M. SCHLÀFLI. 
[133 
Rien n’empêche que <f> ne contienne une plus haute puissance que 0 <r_7r: ' i comme 
facteur, ou que <ï> ne s’évanouisse identiquement. On peut même assigner de plus 
près que l’a fait M. Schlàfli, des cas où <E> s’évanouit identiquement. Soient m, m', m",... 
V V V 
les degrés de U, V, W,... par rapport à x, y, z,...,p = mm'm" ..., s = — + —,+ ... , 
0 sera du degré ^ par rapport aux coefficients de U. Soient aussi g t , g //t ... les 
degrés de celles des fonctions §10, §30, ... , pour lesquelles les opérateurs §1, §3,... 
contiennent des différentielles par rapport aux coefficients de U, p-—-\ ... : pour 
Ab Ab/ 
ces fonctions les coefficients seront du degré — — 1 par rapport aux coefficients de U ; pour 
les autres ils seront du degré —. <b sera donc du degré (— — 1 ) p + — (a — p), = — a — p, 
° m ° \m J m m 
par rapport aux coefficients dé U, et <ï> 4- 0°'~’ r:M sera du degré er — p — ^ c’est- 
P TT 
à-dire du degré ~. p par rapport aux coefficients de U. De même, en supposant 
p TT 
que les lettres m', p',... aient rapport à V, &c., <î>0 a_,r: ^ sera du degré . p, &c. 
par rapport aux coefficients de V, &c. Si l’un quelconque des nombres - — p, 
—>. — — p, &c. est négatif, et à plus forte raison, si leur somme s — a est negative, 
<ï> doit s’évanouir identiquement. En particulier, en supposant que le nombre des 
fonctions §10, §30, ... (c’est-à-dire le nombre des indéterminés f, y, ...) soit v, on aura 
cr > v - , et par cette raison s’évanouira identiquement si ~ («x—v) est négatif, c’est- 
pj g 
à-dire si v > a. Je ne parlerai pas ici des cas examinés par M. Schlàfli, où fl 5 con 
tient comme facteur une plus haute puissance que 0 <r_,r: '\