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NOTE SUR LES COVARIANTS ü’UNE FONCTION QUADRATIQUE, [135 
■ y 
Pour la fonction biquadratique, le système est 
(a, b, c, d, e){x, y)\ 
ae — 4bd 4- 3c 2 , 
(ac — b 2 , 2ad — 2bc, ae 4- 2bd — 3c 2 , 2be — 2cd, ce — d 2 )(x, y) 4 , 
ace 4- 2 bed — ad 2 — 6 2 c — c 3 , 
f — a 2 d 4- 3abc — 2b 3 , 
— a?e — 2abd 4- 9ac 2 — 66 2 c, 
— 5abe 4-1 oacd — 10b"d, 
- 4- 10a 2 d — 10 b~e, 
4- bade 4-10bd? — 15bce, 
4- ae 1 4- 2bde — 9c 2 e 4- 6cd 2 , 
-(«, y) 6 , 
^4-be 2 — Scde + 2d 3 , 
eu ces lououiuns, 
tiquement à l’équation 
JU 3 - IU 2 H + 4>H 3 = ~<t 
U, I, H, J, <3>, satisfont iden- 
J’ajoute à ce système la fonction 
1 3 — 21 J 2 = a 3 e 3 — 12a 2 bde 2 — 18a 2 c 2 e 2 4- 54a 2 cd 2 e — 27a?d 
4- 54a6 2 ce 2 — Qab 2 d 2 e — 180abc"de 4-108abcd 3 + 81 ac 4 e 
— 54ac 3 d 2 — 275 4 e 2 —64 b 3 d 3 4- 108b 3 cde — 546 2 c 3 e 
4- 36b 2 c 2 d 2 , 
qui est le discriminant de la fonction biquadratique. 
Pour donner une application de ces formules, soit proposé de résoudre une équation 
quadratique, cubique ou biquadratique, ou autrement dit : de trouver un facteur linéaire 
de la fonction quadratique, cubique, ou biquadratique. 
Il est assez singulier que pour la fonction quadratique la solution est en quelque 
sorte plus compliquée que pour les deux autres. En effet, il n’existe pas de solution 
symétrique, à moins qu’on n’introduise des quantités arbitraires et superflues; savoir, 
on trouve pour facteur linéaire de (a, b, c){x, y) 2 l’expression 
(a, b, c)(a, /3)(x, y) 4- V - □ . {&æ - ay), 
où (a, b, c)(a, f3)(x, y) dénote aax 4- b {ay 4- fix) 4- c/3y. 
Pour la fonction cubique, l’équation <ï> 2 4- □ U' 2 = — 4*H :i fait voir que les deux fonc 
tions <ï> 4- JJf — □, <E> — Î7\/ — □ sont l’une et l’autre des cubes parfaits. L’expression' 
V{*(<&+ ty- D)W 1*(<*>- Vf-□)}