136] EN ELLE-MÊME PAR DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES. 197 
c’est-à-dire A (a 2 — 1) = 0, Æ(6»-l) = 0, <7(c 2 -l) = 0, F(bc~ 1) = 0, G (ca - 1) = 0, H(ab~l) 
— 0, et on voit que pour obtenir une solution dans laquelle la fonction quadratique ne 
se réduit pas a un carré, ou à une fonction de deux indéterminées, il faut supposer 
par exemple a“ —1=0, bc —1=0. On a donc dans le cas d’une fonction ternaire: 
a 2 = 1, bc = 1, (0 )(x, y, zf = l x a 2 + m x b x e . 
La transformation sera propre, ou impropre, selon que a = + l ou a = - 1. 
Dans le cas d une fonction quaternaire, on obtient pour la transformation propre : 
ab = cd=l, ( 0 ) (x, y, z, wf = l x a x b + m x c x d , 
et pour la transformation impropre: 
a = + l, b = — 1, cd = 1, (0 )(x, y, z, uif = l x a 2 + m x b 2 + n x c x d . 
Dans le cas d’une fonction quinaire on obtient 
a?=l, bc—de= 1, ( 0 ){x, y, z, w, tf = lx a 2 + mx b x c + n x d x e 
et la transformation est propre ou impropre, selon que a = + l ou a = — 1 ; et ainsi 
de suite. 
Cette méthode a des difficultés dans le cas où l’équation en s a des racines 
égales. Je n’entre pas ici dans ce sujet. 
Dans les formules qu’on vient de trouver, on peut considérer les coefficients 
l, m, &c. comme des quantités arbitraires. Mais en supposant que la fonction quadra 
tique soit donnée, ces coefficients deviennent déterminés. On les trouvera par la formule 
suivante que je ne m’arrête pas à démontrer. 
Soient a, /3, y, &c. les coefficients de la fonction linéaire x a , a.', /3', y, &c. les 
coefficients de la fonction linéaire x b , et ainsi de suite ; alors, dans les différentes 
formules qui viennent d’être données, le coefficient d’un terme x a 2 à droite sera 
- k 
(+)(«> /3, y, ...)’ 
et le coefficient d’un terme x a x b à gauche sera 
-k 
(f)(a, /3, y, ...)(«', /3', y\ ...)’ 
où k dénote le discriminant de la fonction quadratique à gauche, et où les coefficients 
des fonctions quadratiques des dénominateurs sont les coefficients inverses de cette même 
fonction quadratique à gauche 1 . 
1 Je profite de cette occasion pour remarquer concernant ces recherches que les formules données dans 
la note sur les fonctions du second ordre (t. xxxvm. [1848] p. 105) [71] pour les cas de trois et de quatre 
indéterminées, sont exactes, mais que je m’étais trompé dans la forme générale du théorème. [This correction 
is indicated vol. i. p. 589.]