198 SUR LA TRANSFORMATION d’üNE FONCTION QUADRATIQUE [136 
L’application de la méthode à la forme binaire {a, b, c)(æ, y) 2 donne lieu aux 
développements suivants. 
J’écris x = ax + /3y, y = 7x+by, et je représente par (l, m){x, y) une fonction 
linéaire qui par cette substitution est transformée en elle-même, au facteur s près. 
Nous aurons donc 
(l, m)(ax + /3y, yx + by) = s(l, m\x, y)\ 
l’équation pour s sera 
s 2 — s (b + a) + aS — fiy = 0 ; 
laquelle peut aussi être écrite comme suit : 
(1, - 5-a, a8 — fiy)(s, 1) 2 = 0. 
Soient s', s" les racines de cette équation. (Il est à peine nécessaire de remarquer 
que s', s", et plus bas P, Q, sont ici ce que dans les formules générales j’ai repré 
senté par a, b et x a , x&. De même les équations p = s's", p = s' 2 , p = s" 2 , obtenues 
après, correspondent aux équations ab = 1, a 2 = l, b 2 = 1.) O11 aura 
s' + s" = — S — a, s's" — ab — /3y, 
et les coefficients l, m seront déterminés rationnellement par s. 
Mais on peut aussi déterminer ces coefficients par l’équation 
l : m — la. + my : Ift + mb, 
qui peut être écrite sous la forme 
(/3, b-a, - y )(l, m) 2 = 0, 
et en éliminant entre cette équation et l’équation Ix + my = 0 les quantités l, m, on 
voit que les fonctions linéaires Ix + my sont les facteurs de la fonction quadratique 
(/3, b — a, — y){y, — x) 2 , ou, ce qui est la même chose, de la fonction quadratique 
(7, b - cc, - ¡3)(x, y) 2 ; 
je représente ces facteurs par P, Q et je remarque encore que l’équation en s aura 
des racines égales si 
(S — a) 2 + 4/37 = 0, 
et que dans ce cas, et exclusivement dans ce cas, les fonctions P, Q ne forment qu’une 
seule et même fonction linéaire. 
Je suppose maintenant que la fonction (a, b, c)(x, y) 2 se transforme en elle-même 
par la substitution ax + /3y, yx + by au lieu de x, y, ou, ce qui est ici plus commode, 
je suppose que les deux fonctions sont égales à un facteur près, et j’écris 
(a, b, c)(ax + ¡3y, yx +by) 2 = p (a, b, c)(x, y) 2 .