199 
136] EN ELLE-MÊME PAR DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES. 
En développant cette équation, on obtient 
x 2 (a, b, c)(a 2 - p, 2oy, y 2 ) ] 
+ 2 xy (a, b, c)(ofi, 08 -f- ¡By — p, y8 ) )■ = 0. 
+ y 2 (a, b, c){fi 2 , 2/SS, S 2 - p) j 
Voilà trois équations linéaires pour déterminer par les quantités o, /3, y, 8, considérées 
comme données, les coefficients (a, b, c) de la fonction quadratique. Les coefficients de 
ces équations linéaires sont 
a 2 - p, 2ay, y 2 , 
o/3, a8 + fi7 - p, y8, 
fi 2 , 2/38, 8 2 - p. 
Le système inverse par lequel on trouve les valeurs de a, b, c, est 
8 2 (a8 — /3y) — (aS + fiy + 8 2 ) p + p 2 , — /38 (08 — (3y) + a/3p, 
— 2y8 (a8 — ¡3y) + 2oyp, o 2 8 2 — fi 2 y 2 — (S 2 + a 2 ) p + p 2 , 
y 2 (08 — /3y) + 7 2 p, — ay (a8 — ¡3y) + y8p, 
/3 2 (aô - /3y) - /3 2 p, 
-2a/3(o8-/3y) + 2/38p, 
a. 2 (08 — /3y) — (08 + /3y + a 2 ) p + p 2 , 
et le déterminant, égalé à zéro, donne 
(«S — /37 — p) {(aS - /3y + p) 2 — p (o + S) 2 } = 0 : 
équation dont les racines sont 
p = a8- fiy, p = (o + 8) ± | V(a - S) 2 + éfiy} 2 . 
En comparant ces valeurs avec celles de s', s", on voit que les racines de l’équation 
en p sont 
p p —.- ^2 p — ^^2 
et nous allons voir que ces valeurs de p donnent en général les valeurs PQ, P 2 , (p 
pour la fonction quadratique. 
Soit d’abord p = a8 — fiy (= sV'), et posons pour abréger aS — fiy — p = cf>, le système 
inverse devient : 
(8 2 - p) <f) - fip . 2y, - fi8<f) -fip(8- o), fi 2 (f> + fip . 2fi, 
— 2y8(f) — p (8 — o) 2y, (a8 + fiy — p)(f) — p(8 — a) 2 , — 2afi(f) + p (8 — o) 2fi, 
— y*(f) + 7p . 2y, — oy(f) + 7p(8 — o), (a 2 — p) (f) - yp . 2fi, 
et en mettant </> = 0, les termes de chaque ligne (en omettant un facteur) deviennent 
y, ^ (8 — a), fi. On obtient ainsi dans ce cas, pour la fonction quadratique (a, b, c)(x, y) 2 
la valeur 
(y, 8-a, - fi)(x, y) 2 , 
qui est en effet le produit PQ des fonctions linéaires. 
Il y a à remarquer qu’en supposant (8 — a) 2 + 4/3y = 0, ce qui est le cas pour lequel 
p sera une racine triple, il n’y aura pas de changement à faire dans ce résultat. La 
fonction quadratique est, comme auparavant, le produit PQ des fonctions linéaires ;