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200 SUR LA TRANSFORMATION d’üNE FONCTION QUADRATIQUE [136 
seulement ces deux fonctions linéaires dans le cas actuel sont identiques, de manière 
que la fonction quadratique se réduit à P 2 . 
Soit ensuite 
p — [h ( a + S) i ür ^( a ~ è) 2 + ^/3y} 2 (= s' 2 ou s" 2 ); 
en écrivant p = s 2 et en mettant pour abréger a8 — /3y — s (8 + a) -4- s 2 = %, le système 
inverse devient 
(S 2 -F s 2 ) x + s (8 — S T (S + a )> — fi&x — /3s (8 — s) (8 + a), 
— 278^ — 27s (8 — s) (8 + a), {s 2 + s (8 + a) 4- a8 + $7} x + 2fîys (8 + a), 
ŸX + 7 2 s (S + a )> ~ «7% -7 s ( a ~ s ) ( s + a )> 
/S 2 % + Æ 2 « (S + a), 
— 2a/3^ — 2/3s (a —s)(8 + a), 
(a 2 + s 2 ) x + « (« - s) 2 (8 + a). 
Donc, en écrivant % = 0 et en omettant le facteur s (8 + a), le système inverse devient 
(8-s) 2 , -/3(8-s), /3 2 , 
7 (8- s), £7, - P (« - s), 
7 2 , - 7 (Z 3 ~ «)> (« - s) 2 , 
et les quantités dans chaque ligne sont dans le rapport l 2 : Im : m 2 , de manière que la 
fonction quadratique est dans ce cas égale à P 2 ou Q 2 . Cela suppose que 8 + a ne soit 
égal à zéro. En faisant pour le moment p = 1, on en tire la conclusion qu’à moins 
de supposer 8+ a = 0, il n’existe pas de fonction quadratique binaire proprement dite 
(fonction non carrée) qui par la substitution impropre ax + /3y, yx + 8y pour x, y, se 
transforme en elle-même. L’équation 8 + a = 0 donne p = a8 — (3y, qui est une racine 
double de l’équation cubique. O11 remarquera en passant par rapport à la signification 
de l’équation S + a = 0, que l’on a en général : 
(a, /3)(ax + /3y, yx + 8y) : (7, 8)(ax + /3y, yx + 8y) 
= (a 2 + /37) x + /3 (8 + a) y : 7 (8 + a) x + (8 2 + fiy) y, 
et de là, qu’en supposant 8 + a = 0, on a 
(a, /3)(ax + /3y, yx + 8y) : (7, 8)(ax + f3y, yx+8y) = x, y. 
Cela revient à dire qu’en faisant deux fois la substitution ax + /3y, yx + 8y au lieu de 
x, y, on retrouve les quantités x, y, ou que la substitution est périodique du second 
ordre. U y a aussi à remarquer que dans le cas dont il s’agit, savoir pour 8 4- a = 0, 
on a s" = — s', et que les deux fonctions linéaires P, Q restent parfaitement déterminées. 
Nous venons de voir qu’il n’existe pas de transformation impropre d’une fonction 
quadratique binaire proprement dite, à moins que 8 + a ne soit pas = 0. Mais en 
supposant 8 4- a = 0, on voit que les coefficients des équations pour a, b, c deviennent 
~/3y, 
1 
O? 
1 
» 
7 2 > 
a/3, 
a (S- a), 
- ay, 
/3\ 
/3(8-“). 
#7>