JCHES. [137 
137] RECHERCHES ULTERIEURES SUR LES DÉTERMINANTS GAUCHES. 205 
droite, où entrent 
terminant dont il 
trouve ni dans le 
c/3 ; car cela étant, 
¡312 = — /3al2. 
3, on suppose que 
:rit a = /3 = 5), on 
55.12, &c., 
2345. 
éveloppement des 
ces, on aura 
| 32 
Ysi 
1 12 
324, 
-123 | 
423 
314, 
-213 | 
413 
214, 
-312 j 
| 412 
312, 
+ 123 | 
| 123 
:rice à droite soit 
mineurs qui cor- 
ordinaires, avec le 
-S termes tels que 
igné —. 
’emarque que l’on 
En effet, en développant les deux côtés, on obtient: 
11.22.33 + 11. (23) 2 + 22.(13) 2 + 33. (12) 2 = 11.(22.33 + (23) 2 ) 
+ 21.(21.33 + 23.13f) 
+ 31.(31.22 + 32.12f). 
On voit que les deux ternies marqués par un -f* se détruisent et que l’équation est 
identique. On doit avoir de même, 
1234 j 1234 = 11 . 
, 234 | 
| 234 
- 12 . 
234 
| 134 
-13 . 
. 324 | 
| 124 
1 
h-> 
423 1 
123 
ou, ce qui est la même chose : 
1234 | 1234 = 11 . 
. 234 
| 234 
+ 21 . 
234 | 
134 
+ 31 . 
324 | 
124 
+ 41 . 
423 | 
123 
c’est-à-dire, en développant des deux côtés : 
11.22.33.44 + 11.22. (34) 2 + 11.33.(24) 2 + 11.44.(23) 2 
+ 22.33. (14) 2 + 22.44.(13) 2 + 33.44. (12) 2 + (1234) 2 = 
11 [22 . 33 . 44 + 22 (34) 2 + 33 (42) 2 + 44 (23) 2 ] 
+ 21 [21 . 33.44 + 2134.34* + 23 . 13.44f + 24 . 14 . 33f] 
+ 31 [31 . 22 . 44 + 3124 . 24* + 32 . 12.44f + 34 . 14 . 22f] 
+ 41 [41 . 22 . 33 + 4123.23* + 42 . 12 . 33f + 43.13 . 22f]. 
Cette expression est en effet identique, comme on le voit en observant que les 
six termes marqués par un -J* se détruisent deux à deux, et que les trois termes 
marqués par un (*) sont ensemble équivalents à (1234) 2 . 
Je remarque que le nombre des termes du développement du déterminant gauche 
est toujours une 'puissance de 2, et que de plus, ce nombre se réduit à la moitié, 
en réduisant à zéro un terme quelconque ococ. Mais outre cela, le déterminant prend 
dans cette supposition la forme de déterminant d’un ordre inférieur de l’unité. Je 
considère par exemple le déterminant gauche 123 | 123. En y faisant 33 = 0 et en 
accentuant, pour y mettre plus de clarté, tous les symboles, on trouve 
123 | 123'= 11'. (23') 2 + 22'. (lSy.