206 RECHERCHES ULTÉRIEURES SUR LES DÉTERMINANTS GAUCHES. | 137 
De là, en écrivant 
11 = 13M1', 12 = 11'. 23', 
22 = 13'. 22', 
on obtient 
12 | 12 = 11 . 22 + (12) 2 
= 11'. {22'.(13') 2 + 11'. (23') 2 }, 
c’est-à-dire 
12“|T2 = 11' . Ï23TÏ23'- 
On a de même 
1234 | 1234' = 11' . 22'. (34') 2 + 11'. 33'. (24') 2 + 22'33' (14') 2 + (1234') 2 
et de là, en écrivant 
ll = 14'.ir, 12 = 11'. 24', 23 = 1234', 
22 = 14'. 22', 13 = 11'. 34', 
33 = 14'. 33', 
on obtient 
123 | 123 = 11 . 22.33 + 11 . (23) 2 + 22 . (31) 2 + 33 (12) 2 
= 11'. 14' {22' . 33' . (14') 2 + (1234') 2 + 11'. 22' . (34') 2 + 11' . 33' . (24') 2 j, 
c’est-à-dire, 
123 | 123 = 11' . 
14' . 1234 | 
| 1234', 
De même 
12345 | 12345'= 11' 
. 22' . 33' . 
, (45') 2 
+ 11' 
. 22' . 44' . 
(35') 2 
+ 11' 
. 33' . 44' . 
(25') 2 
+ 22' 
. 33' . 44' . 
(15') 2 
+ 11' 
. (2345') 2 
+ 22' 
. (1345') 2 
+ 33' 
. (1245') 2 
+ 44' 
. (1235') 2 . 
Or il est permis d’écrire 
11 = 15'. 11', 12 = 11'. 25', 23 = 1235', 1234 = 2345'. 11'. 15', 
22 = 15'. 22', 13 = 11'.35', 24 = 1245', 
33 = 15'. 33', 14 = 11'. 45', 34 = 1345', 
44 = 15'. 44'. 
En effet, les quantités à gauche ne sont liées entre elles que par la seule équa 
tion 1234 = 12.34 + 13.42 + 14.23 qui est satisfaite identiquement par les valeurs à 
substituer pour les quantités qui y entrent. Cela étant, on trouve d’abord: 
1234 | 1234 = 11'(15') 2 12345 | 12345'.