137] RECHERCHES ULTÉRIEURES SUR LES DÉTERMINANTS GAUCHES. 211 
J’ai déjà fait voir de quelle manière cette formule se rattache à la formule pour 
la tiansformation pi opi e, la différence entre les formes de ces transformations dans ce 
cas simple est assez frappante. 
Pour obtenir la transformation propre 
ax 2 + by 2 + cz 2 = ax 2 + by 2 + cz 2 , 
écris 
11, 
12, 
13 
= 
a, 
v, 
-P 
21, 
22, 
23 
~ v, 
b, 
X 
31, 
32, 
33 
y, 
-A, 
c 
cette formule donne 
( x , y. z)= 
O, y. z). 
abc + aX 2 4- bp 2 + cv 2 
abc + aA 2 — bp 2 — cv 2 , 2 (A/a — cv)b , 2 (vX + bp) c 
2 (A/a + cv ) a , abc — aX 2 + bp 2 — cv 2 , 2 (pv — aA) c 
2 (vX — bp) a , 2 (pv + aX) b , abc — aX 2 — bp 2 — cv 2 
La transformation impropre en elle-même 
ax 2 + by 2 + cz 2 = ax 2 + by 2 + cz 2 
peut être tirée de la transformation propre en elle-même de la fonction donnée ci-après 
ax 2 + by 2 + cz 2 + dw 2 ; en y écrivant d = 0, on obtient 
( x > y, z ) = 
bcp 2 + caa 2 + abr 2 + <p 2 
— bcp 2 + caa 2 + abr 2 — cf) 2 , — 2brcf) — 2bcpa , 2 ca(f) — 2bcrp 
2ar(f) — 2 acpa , bcp 2 — caa 2 + abr 2 — <f) 2 , — 2 cpcf) — 2cacrr 
— 2aa(f) — 2abpr , 2 bpcf) — 2abar , bcp 2 + caa 2 — abr 2 — cfi 2 
l(®. y. z). 
Pour vérifier que cette expression n’est en effet autre chose que la formule pour 
la transformation propre, en y changeant les signes de tous les termes, j’écris dans la 
formule pour la transformation propre, a = b = c = a>. On a ainsi pour la transformation 
propre 
X 2 + y 2 + z 2 = X 2 + y 2 + Z 2 , 
l’équation 
2Xp - 2vfû , 2vX + 2pw (x, y, z), 
o) 2 — A 2 + p- — v 2 , 2pv — 2A&) 
( x - y, z) = 
or + A 2 + /a 2 4- v 2 
co 2 + A 2 — p 2 — v 2 , 
2Xp + 2 vco , 
2^A — 2/a &) , 
2pv + 2Xco , a) 2 — A 2 + p 2 — v 2 
27—2