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RECHERCHES ULTÉRIEURES SUR LES DÉTERMINANTS GAUCHES. [137 
et en écrivant dans la formule pour la transformation impropre, a = b=c = 1, d = 0, 
X, /a, v, — (O au lieu de p, cr, t, cf), on obtient pour la transformation impropre 
l’équation 
X 2 + y 2 + Z 2 = X 2 + y- 4 Z 2 , 
1 
(X, y, z) = 
6) 2 + A 2 + P? 4- v 2 
tu 2 — A 2 + p? + V 2 , — 2 A/a + 2vœ , — 2vX — 2/ieo 
— 2Xp, — 2vcù , — co 2 + X 2 — p, 2 + V 2 , 2/ai> — 2\<y 
— 2vX 4- 2¡xa) , — 2pv — 2Xco , — <o 2 + X 2 — p 2 — v 2 
Pour obtenir la transformation propre 
ax 2 - by 2 + cz 2 + dw 2 = ax 2 + by 2 + cz 2 + dw 2 , 
O, y, z). 
j écris 
11, 
12, 
13, 
14 
= 
a, 
V, 
-/*» 
p 
21, 
22, 
23, 
24 
-V, 
b, 
X, 
cr 
31, 
32, 
33, 
34 
P, 
-X, 
c, 
T 
41, 
42, 
43, 
44 
~P> 
- o-, 
- T, 
d 
cela donne d’abord, en mettant pour abréger, 
cf) = \p 4- pa 4- VT, 
la valeur du déterminant 
1234 I 1234 = abcd 4- bcp 2 + caa 2 + abr 2 4- adX 2 4 bdp 2 + cdv 2 + cf> 2 
(ce que je représente par k). 
J’ajoute aussi la valeur de la matrice inverse 
11, 
12, 
13, 
14 
—1 
21, 
22, 
23, 
24 
31, 
32, 
33, 
34 
41, 
42, 
43, 
44 
savoir : 
1 
k 
6cd 4-6t 2 4-c<r 2 -\-dX 2 , 
cdv 4- rcf) + dXp — epa, 
— bdp — crcf) + dXv — bpr, 
bcp + X(f) + ever — 6/AT, 
“ cdv — rej) + dXp— epa, 
acd + 6t 2 + cp 2 + dp?, 
adX + pej) 4- dpv — ttcTT, 
accr 4* /a <f) — cvp + aXr, 
bdp 4- aef) + dXv — bpr , 
— adX — p<f) 4- dpv — aar, 
abd + aa 2 4- bp 2 + dv 2 , 
abr + vcj) + bpp — aXa, 
— bcp — X(f) + ever — 6/AT 
— aco- — pcf) — cvp + aXr 
— abr — vcf>+ bpp — aXa 
abc + aX 2 4- 6/a 2 4 cv 2 
et