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RECHERCHES SUR LES MATRICES &C. 
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les mineurs de cet ordre contiennent le facteur (s — a) a , mais non pas tous les facteurs 
(s - a) a+1 ) ; et si de même les mineurs du r-ième ordre contiennent le facteur (s - af ; 
alors les mineurs du (r — l)ieme ordre contiendront au moins le facteur (s — a) 2 ^ - 
Autrement dit: les mineurs du (r — l)ième ordre contiendront le facteur (s — a) y où 
7 > 2¡3 — a, ou, ce qui est la meme chose, a. — 2/3 + y <£ 0 ; c’est-à-dire : en formant 
la suite des indices des puissances selon lesquelles le facteur (s — a) entre dans les 
mineurs premiers, seconds, &c. (il va sans dire que cette suite sera une suite décroissante), 
les différences secondes seront positives [c est-a-dire non négatives]. Je représente par 
a > & 7> ••• suite dont il s’agit; je suppose, pour fixer les idées, que 8 soit le 
dernier terme qui ne s’évanouisse pas, et j’écris 
a > /3, 7, 8, 0, 0, ... 
« - A /3 - 7, 7 - S, 8, 0,... 
a -2,3 + 7, /3-2y + 8, y-28, 8, 0,...; 
ici, quel que soit le nombre des termes, tous les nombres de la troisième ligne seront 
positifs, et en représentant ces nombres par /, /', /", &c., on obtient: 
a =/+2/' + 3/" + 4r 
/3= /' + 2/" + 3/'" + ..., 
7= f" + 2r+..., 
8= 
Il y a ici à considérer que le nombre a, indice de la puissance selon laquelle le 
facteur (s — a) entre dans le déterminant, est donné ; il sera donc permis de prendre 
pour /, J', J",... des valeurs entières et positives quelconques (zéro y compris) qui 
satisfont à la première équation ; les autres équations donnent alors les valeurs de 
/3, 7, 8, &c. On forme de cette manière une table des particularités que peut présenter 
un facteur multiple (s — a) a du déterminant ; cette table est composée des symboles 
a > fi, 7, et les nombres a, /3, ... de chaque symbole font voir le degré selon lequel 
le facteur (s — a) entre dans les déterminants, dans les mineurs premiers, seconds, &c. 
Or il est très facile de former, au moyen des tables pour a=l, a. = 2,... a = k, la table 
pour a = &+l. On a par exemple pour a= 1, a = 2, a = 3, a = 4 les tables suivantes: 
Pour 
a = l, 
1. 
Pour 
« = 2, 
2, 
21. 
Pour 
a = 3, 
3, 
31, 
321. 
Pour 
a = 4, 
4, 
41, 
42, 421, 4321 
l)e là on tire la table pour a = 5, savoir : 
Pour ce = 5, 5, 51, 52, 521, 531, 5321, 54321. 
En effet, le premier terme est 5, et on obtient les autres termes en mettant le nombre 
5 devant les symboles des tables pour a = 1, a —2, a = S, cl = 4, en ayant seulement soin