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TWO LETTERS ON CUBIC FORMS. 
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[From the Qncirterly Mathematical Journal, vol. I. (1857), pp. 85—87 and 90—91.] 
Cher Mons. Hermite, 
Il y a longtemps que j’ai voulu vous écrire, mais j’en ai été empêché je ne 
sais comment ; j’ai assez à vous dire par rapport aux covariants, mais à présent je 
vais vous parler des formes cubiques à deux indéterminées. Il me semble que l’on 
peut simplifier la théorie de Eisenstein, et l’étendre au cas d’un déterminant négatif 
quelconque, de la manière que voici. 
Soit (a, b, c, d'fyx, y) 3 une forme cubique, je représente par Hessn. (a, b, c, d\x, y) 3 
la forme quadratique dérivée (ac — b 2 , £(ad — bc), bd - cJ)œ, y) 2 . Cela étant, soit (A, B, C) 
une forme représentative (réduite et proprement primitive) au déterminant — D ; à 
moins que (A, B, G) 2 =(A, — B, G), c’est-à-dire, à moins que {A, B, G) ne soit une 
forme laquelle par sa triplication produit la forme principale, il n’existe pas de forme 
cubique {a, b, c, d) telle que — Hessn. (a, b, c, d\x, y) 3 — (A, B, G^x, y) 2 , ou, si l’on 
veut, telle que b 2 — ac = A, bc — ad = 2B, c 2 — bd = G ; mais en supposant que l’on ait 
(A, B, G) 2 = (A, —B, G) on peut trouver une seule forme cubique qui satisfait à 
l'équation dont il s’agit. J’écarte, cela va sans dire, l’une ou l’autre des deux formes 
(a, b, c, d) et (— a, -• b, —c, — d). 
En effet on a identiquement 
(b 2 — ac, (bc — ad), c 2 — bd'fybxx + cxy' -I- ex y + dyy', axx + bxy' + bx'y + cyy') 2 
= (b 2 — ac, ^ (bc — ad), c 2 — bd\x, y) 2 x (b 2 — ac, ^ (bc — ad), c 2 — bd\x', y') 2 , 
donc, en supposant que b 2 — ac = A, bc — ad = 2B, c 2 — bd = G, il s’ensuit que (A, B, C) 2 
= (A, -B, C). 
c. III. 
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