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TWO LETTERS ON CUBIC FORMS. 
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Je suppose donc {A, B, G) 2 = (A, —B, G), et je dis qu’il ne peut pas y avoir 
deux formes cubiques, (a, b, c, d) et (a,, b,, c t , d.), qui aient la propriété dont il s’agit; 
car, en écrivant 
on trouverait 
ce qui implique d’abord que 77, soient des fonctions linéaires de £, 77. Mais (A, — B, G) 
étant une forme réduite et proprement primitive au déterminant — D, il n’existe pas 
de transformation de la forme quadratique en elle-même, hormis 77, = 77. Le cas 
D = 1 doit se traiter à part ; dans ce cas particulier il 11’y a que la forme cubique 
(0, 1, 0, 1). Donc &c. Enfin, si (M, B, G) 2 = {A, —B, G), il existe une forme cubique 
(a, b, c, d) telle que b 2 — ac = A, &c. ; car en cherchant par la méthode de Gauss les 
valeurs des coefficients p, p', p", p" et q, q', q", q"' qui donnent cette transformation, 
011 obtient d’abord p'—p", q — q"- On peut donc représenter ces coefficients par 
b,, c,, c,, dp a, b, b, c ; savoir, on peut trouver a, b, c, b /} c /t d / de manière que 
( Jl, — B, G'§b l xx + c t xy' + c j x'y + d / y y, axx' + bxy' + bx'y + cyy') 2 
= (M, B, Glx, y) 2 . (A, B, G\x f , y'f. 
Cela étant, les équations de Gauss donnent 
A =bb / — ac / , A = b 2 —ac, 
2 B = cb / — ad /} —2 B = cb / + ad t — 2bc t , 
G = cc, —bd /} G — c 2 — b t d iy 
et de là on obtient 
b (b — b) — a (c — c t ) = 0, 
c {b —b) — b (c — c') = 0, 
c, (b - b,) - b, (c - c) = 0, 
d / (b - b,) - c, (c - c) = 0 ; 
ci b b j C ( 
b c c. d. 
Q 
A, ce qui 11’est pas vrai (car cela donnerait A — 0, B=0, C = 0) 
c’est-à-dire, ou y = 
ou b - b y = 0, c — c, = 0. Donc b, = b, c 7 = c; et en écrivant d au lieu de d /t on voit que 
l’équation de transformation devient 
(A, —B, C][bxx' + cxy' + ex'y + dyy', axx' + bxy' + bx'y + cyy') 2 
où 
= (A, B, G^x, y-y.(A, B. C&r, yj, 
A = b 2 — ac, 2B = bc- ad, G = c 2 — bd. C. q. f. à d.