12 TWO LETTERS ON CUBIC FORMS. [162 
où a, fi, 7, S sont des entiers. En effet en trouve d’abord en éliminant par ex. xy' 
et x'y, 
£, = + fiy + te' + >iyy', 
y, = 7^ + 5 y + vxx’ + pyy', 
où a, /3, &c., X, /x, &c., sont des quantités rationnelles. En substituant ces valeurs de 
£, y, on aura (A, — B, G) (A, v) 2 = 0, (J., — 5, (7) (a, p) 2 — 0. Donc le déterminant 
n’étant pas un carré, A = 0, v = 0, p = 0, p = 0 et 
£ = «£ + 
V, = + St;, 
où a, /3, 7, S sont des quantités rationnelles. Donc 
b / = ab + fia, a t = 76 4- Sa, 
c, = ac + fib, b / = 7c + 8b, 
d^ad + fic, c / =7d + Sc, 
donc a, /3 seront des quantités rationnelles ayant pour dénominateur l’une quelconque 
à volonté des trois quantités b 2 — ac, c 2 — bd, ad — bc, c’est-à-dire, des quantités A, B, G \ 
et, puisque (A, B, G) est une forme P. P., cela ne peut arriver à moins que a, fi ne 
soient des entiers ; de même, 7, 8 seront des entiers. Je remarque de plus les 
équations 
afi + b (a — 8) — c 7 = 0, 
b fi + c (a — S) — dy = 0, 
lesquelles donnent 
fi : a — S : — 7 = bd — c 2 : bc — ad : ac — b 2 
= G : -2B : A, 
cela fait voir que la transformation en elle-même de la forme (A, — B, C\%, y) 1 à 
moyen de %, = %% + fiy, y / = , y% + 8y est une transformation propre. J’aime cependant 
mieux la manière dont vous vous êtes servi pour déduire d’une forme cubique donnée 
toutes les autres formes cubiques qui correspondent à la même forme quadratique. Il 
serait facile de la même manière, étant donnée une transformation quelconque d’une 
forme quadratique dans le produit de deux autres formes quadratiques, d’en déduire toutes 
les autres transformations; car il y a pour la fonction axx'x" + &c ... un covariant qui 
corresponde au cubicovariant de la fonction ax 3 + & c.... Je suis votre très-dévoué 
A. Cayley, 
2, Stone Buildings, Lincoln’s Inn, 6 Mars, 1855.