W&M4 
253] 
SUR LA COURBE PARALLÈLE A L’ELLIPSE. 
153 
ou ce qui est la même chose 
A-B- + 4B 3 + 4J. 3 C + IZABC - 27G 2 = 0, 
c est-a-diie en substituant les valeurs de A, B, O, l’équation de la courbe sera 
O 2 + y 2 - k 2 - a 2 - b-)- (b-x- + ahf - a-k 2 - b 2 k 2 - a 2 b 2 ) 2 
+ 4 (b 2 xr + a?y 2 — a% 2 — b-k 2 — a 2 b'-f 
+ 4>a 2 b 2 k 2 (x 2 + y 2 - k 2 — a 2 — b 2 ) 3 
+ 18 a 2 b 2 k 2 (x 2 + y 2 - B -a 2 - b 2 ) (b 2 x 2 + a 2 y 2 - a 2 k 2 - b 2 k 2 - a 2 b 2 ) 
- 27a 4 № = 0, 
laquelle est en effet l’équation trouvée par M. Catalan. 
En écrivant k = 0 l’équation devient 
0 = (6V + a 2 y 2 - a 2 b 2 ) [(^ + y 2 ) 2 - 2 (a 2 - b 2 ) (x 2 + y-) + (a 2 - b 2 ) 2 ], 
ce qui équivaut à l’équation de l’ellipse 
b 2 x 2 + a 2 y 2 — a 2 b 2 = 0 
deux fois répétée, et aux équations 
(x ± aéf + y 2 =0, 
(où comme à l’ordinaire a 2 e 2 — a 2 — b 2 ) lesquelles appartiennent aux droites menées 
chacune par un foyer réel et un foyer imaginaire de l’ellipse; ces droites sont aussi 
les tangentes menées à l’ellipse par les quatre foyers. En effet en prenant sur l’ellipse 
le point imaginaire dont les coordonnées sont 
l’équation du cercle, rayon 0, ayant pour centre le point dont il s’agit, sera 
ce cercle se réduit donc à deux droites, savoir la droite 
ou, ce qui est la même chose, 
x — ae + iy = 0, 
laquelle est tangente à l’ellipse, et la droite 
C. IV. 
20