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SUR LA COURBE PARALLÈLE À L’ELLIPSE. 
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ou, ce qui est la même chose, 
- iy = 0, 
laquelle est la droite menée par le point de contact à l’autre point circulaire à 
l’infini (celui qui n’est pas situé sur la tangente x — ae + iy — 0). Le cercle, comme 
courbe composée d’une droite tangente à l’ellipse et d’une autre droite menée par le 
point de contact, a même avec l’ellipse une intersection à trois points réunis. Ces 
considérations font voir pourquoi au cas k = 0 les quatre droites (x ± ae) 2 4- y" = 0 font 
partie de la courbe. 
En supposant que k est quelconque, mais que l’on a a = b, l’équation devient 
a 4 (x 2 + y 2 ) 2 [{x 2 + y 2 — a 2 ) 2 — 2 k 2 {x 2 + y 2 + a 2 ) + A 4 ] = 0, 
où, en écartant le facteur (uf + y 2 ) 2 et le facteur constant a 4 , l’équation se réduit à 
(x 2 + y 2 — a 2 ) 2 — 2 k 2 (xr + y 2 + a 2 ) + Ar 1 = 0, 
c’est-à-dire 
[a? + y 2 — (a + k) 2 ] [oc 2 + y 2 -(a- A;) 8 ] = 0 ; 
ainsi la courbe se réduit à l’ensemble des deux droites (xr + y 2 ) = 0 (chacune deux fois 
répétée, et des deux cercles 
x 2 + y 2 —(a + k) 2 =0, x 2 + y 2 — (a — k) 2 = 0 
comme évidemment cela doit être. 
Par rapport aux singularités de la courbe, la forme de l’équation montre à pre 
mier coup d’œil qu’il y a quatre points doubles à l’infini ; savoir les deux points cir 
culaires à l’infini (points où l’infini est rencontré par les droites x? + y 2 = 0), et les 
deux points où l’infini est rencontré par les droites b 2 xr + a 2 y 2 = 0. Il y a de plus 
deux points doubles sur chacun des axes : en effet en écrivant dans l’équation de la 
courbe y = 0 l’équation résultante, toute réduction faite, devient 
[(# — a) 2 — A' 2 ] [(x + a) 2 + k 2 ] \b 2 x? — (a 2 — b 2 ) (b 2 — k 2 )] 2 = 0, 
ce qui fait voir qu’il y a sur l’axe de x les deux points doubles dont les coordonnées 
sont données par l’équation 
b 2 x 2 — (a 2 — b 2 ) (b 2 — k?) = 0. 
Mais pour parvenir à cette conclusion il convient de considérer que l’axe de x ren 
contre la courbe dans des points tels que pour chacun la distance normale à l’ellipse 
est égale à k : il y a quatre distances normales k, mesurées le long de l’axe ; et quatre 
distances normales k mesurées à des points situés symétriquement par rapport à l’axe, 
lesquels se rencontrent deux à deux sur l’axe aux points dont les coordonnées sont 
b 2 x 2 = (a 2 — b 2 ) (b 2 — k 2 ) ; c’est là l’origine des deux points doubles sur l’axe de x. On doit