223] NOTE SUE UN THÉOEÈME GÉNÉRAL PAR RAPPORT À L’ÉLIMINATION. 3 
on peut représenter par 8x, 8y, 8z, etc. les variations qu’il faut attribuer aux variables 
&•, y, z, etc. Les équations cf) — 0, ^ = 0, % = 0, etc. seront satisfaites en y variant à la 
fois les valeurs des variables x, y, z, etc. et des quantités a, b, c, etc. ; les variations de 
cf), i/r, x, etc. doivent donc s’évanouir: je représente de la manière que voici les conditions 
ainsi obtenues, savoir 
8cf> + 8x + ^ 8y +~ 8z + etc. = 0, 
^ dx dy a dz 
dyfr ~ dy\r 
dx ~~ ' dy + dz 
8z + etc. = 0, 
s x + d à & + 
8y + -y 8z + etc. = 0. 
dy ü dz 
etc. 
En prenant L, M, N, etc. des fonctions absolument arbitraires, et en prenant aussi 
8u = — L8x — M8y — N8z — etc. 
on aura l’équation identique 
8u + L8x + M8y + N8z + etc. = 0, 
et en éliminant les variations 8x, 8y, 8z, etc. on obtient une équation □ = 0 ; la partie 
de □ qui contient le terme 8u sera évidemment 
8u 
dcf) 
dé 
d(f> 
dx ’ 
dy ’ 
dz 
d)\r 
dyfr 
d)Jr 
dx ’ 
dz 
d% 
d% 
dx 
dx ’ 
dy ’ 
dz 
et le déterminant, facteur de cette expression, s’évanouit en vertu des équations 
cf) = 0, yfr = 0, % = 0, etc. Cela est en effet un théorème de M. Hesse, lequel se démontre 
tout de suite en remarquant que l’on a 
. dé dé dé 
m * =,c s + ^ + *- +etc - =0 ’ 
etc. 
dz 
L’expression □ ne contient donc pas de terme avec 8u, et l’équation □ = 0, peut 
s’écrire comme suit : 
= 0 
L , 
M , 
N , 
dcf) 
dcf> 
dcf) 
dx ’ 
dy ’ 
dz ’ 
d-^r 
d\fr 
dyjr 
dx ’ 
~dÿ’ 
dz ’ 
d X 
dx 
dx 
dx * 
dy’ 
dz ’ 
1—2