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SUR UN THÉORÈME D’ABEL. 
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cela donne d’abord 
On obtient une autre propriété de cette fonction f(x) en substituant les valeurs 
des fonctions (p et y\r dans l’équation originale 
<t> O) + 4> (y) = Ÿ ( æ f(y) + yf{a>)) ; 
et de là en réduisant on obtient l’équation fonctionnelle très simple 
f (x) f(y) + n 2 xy = af ™_ 
x Ay) - y A®)' 
CL 
Je remarque que l’on peut sans perte de généralité écrire a = 1, et w = l: je mets /3 
au lieu de a', et j’écris aussi pour plus de simplicité / {x) = X, f (y) = Y. On a alors 
pour déterminer la fonction X (=/(#)), l’équation 
(X — x) 1+ P (X + x) l ~& = 1 
équation dans laquelle on pourrait remplacer les exposants 1 + ¡3, 1-/3 par deux 
quantités quelconques. 
La formule d’intégration devient 
formule que l’on peut vérifier sans peine à moyen de celle-ci, 
(X+/3a>)X' = x+/3X, 
que l’on obtient en différentiant l’équation pour X. L’équation fonctionnelle sera 
XY + xy =f(x Y + yX), 
c’est-à-dire en écrivant xY + yX =z, XY + xy = Z on doit avoir 
. (Z - zf+f* (Z + zf-f* = 1 
et cela se vérifie tout de suite à moyen des équations 
Z — z — (X — x) (Y — y), Z+z = (X + x)(Y + y). 
Je remarque aussi qu’en prenant le quotient des dérivées de cette équation par rapport 
à x et y on obtient 
X' - Y' /X Y\ (X Y \ 
X'Y'-l U y) 1 U * y /’ 
laquelle est une propriété de la fonction X et sa dérivée X'. 
Londres, 17 Juillet, 1857.