373 
274] DEUXIÈME NOTE SUR LA TRANSFORMATION DE TSCHIRNHAUSEN. 
ce qui est égal à 
~ [(IU 7 + 6J©') 2 +£ (I 3 - 27 J 2 ) @' 2 ]. 
La condition à remplir pour que cet invariant se réduise à zéro peut donc être 
présentée sous la forme 
IU + [6/ ± 2V-£(/ 3 -27/ 2 )] ©' = 0, 
ce qui s’accorde avec un résultat trouvé par M. Hermite. 
Il doit y avoir, ce me semble, une équation identique de la forme 
JU 2 - IU' 2 H’ + 4H' 3 + MW = - 4>' 2 
qui servirait à exprimer le carré de <ï>' au moyen des autres invariants U, H', ©', /, J t 
mais en supposant que cette équation existe, la forme du facteur M, que je n’ai 
pas encore cherchée, reste à déterminer ; l’invariant J (cubinvariant) de la forme 
(1, 0, (£, 2), $\y, l) 4 contient <P' 2 , et il faudrait employer l’identité dont je viens 
de parler pour réduire à sa forme la plus simple cet invariant; dans l’état actuel de la 
question je ne m’occupe donc pas de l’expression du cubinvariant de (1, 0, S, 2), (£J[y, l) 4 . 
Pour passer au cas d’une équation du cinquième ordre, on devra faire usage de 
la formule qui se rapporte à la forme (a, b, c, d, e$x, l) 4 . En faisant la substitution 
nécessaire on arrive à ce résultat que pour l’équation 
(a, b, c, d, e\x, 1) 4 = 0 
la transformée en 
y = (ax + ¿6) T 0 + (ax 2 + bx + \c) T 2 + (ax 3 + boc 2 + ex + f d) T 2 
est la suivante 
(1, 0, 2), (£%/, 1) 4 = 0, 
où 
7* 2 
± 0 
T T 
T T 
■ L 0- 1 2 
m 2 
J 1 
T T 
m 2 
± 2 
ac + 8 
6 2 - 3 
ad + 24 
bc — 4 
ae + 32 
bd - 2 
ae + 16 
bd + 8 
c 2 - 4 
be + 24 
cd - 4 
00 CO 
+ 1 
8% 
7? 
y T 2 
i 0 ■‘l 
T 
± 0 -*■ 2 
rr y 2 
T 3 
r/i m 2 
1 0 i 2 
T 2 1\ 
m m 2 
i l I 2 
rp 3 
± 2 
edd + 8 
abc — 4 
b 3 + 1 
a?e + 32 
abd+ 4 
ac~ — 8 
b 2 c + 2 
abe + 8 
acd — 4 
b 2 d + 1 
abe + 32 
acd — 16 
b 2 d + 4 
ad 2 — 12 
b 2 e +12 
ad 2 — 8 
b 2 e + 8 
ade — 8 
bce + 4 
bd 2 — 1 
ade — 32 
bce +16 
bd 2 - 4 
ae 2 - 32 
bde — 4 
c 2 e + 8 
cd 2 — 2 
be 2 — 8 
ede + 4 
d 3 - 1