44 MÉMOIRE SUR LA FORME CANONIQUE DES FONCTIONS BINAIRES. [232 
la question peut s’énoncer sous la forme suivante: trouver une fonction de degré ni, 
telle qu’en représentant x + ay un facteur linéaire quelconque de cette fonction, la 
fonction donnée de degré 2m — 1 se réduise à la forme 2-4 (x + a?/) 2 ” 1-1 . La fonction 
de degré m contiendra un facteur constant dont la valeur peut être prise à volonté. 
Mais à ce facteur près la fonction de degré m sera complètement déterminée. 
Pour fixer les idées je suppose que la fonction donnée soit la fonction cubique 
(a, 6, c, d^x, y) 3 , 
dans ce cas il s’agira de trouver une fonction quadratique 
(a, b, c$a:, y) 3 
telle qu’en posant (a, b, c]£&, y) 3 = a (x+ ay) (x + /3y) on ait identiquement 
(a, b, c, d][x, y) 3 = A (x + ay) 3 + B (x + /3y) 3 . 
Cela se fait très-facilement par les méthodes ordinaires. En effet, on a 
M q-B == ci, 
Aa q- B/3 = b, 
Aa 3 + B/3' 2 = c, 
Aa 3 + B(3 3 = d, 
d’où il suit 
a&l — b(l;+n) + c-A (£- a) (y - a) + B (!;- 0)(n - @), 
bh-c(Ç + r,) + d=Aa(Ç-a)( v -a) + Bl3 (Ç -/3) (y -/3), 
% et y étant des quantités quelconques ; donc, en prenant £ = a, y = ¡3, on obtient 
aa/3 — b(a + /3) + c = 0, 
ba/3 — c (a + /3) + d = 0. 
Mais l’équation (a, b, c$x, y f = a (x + ay) (x + /3y) donne 
a/3 : a + /3 : 1 = c : 2b : a, 
on a donc 
«c — 26b + ca = 0, 
6c — 2cb + da = 0, 
système qui donne les rapports a : b : c. Mais pour compléter la solution de la 
manière la plus élégante, il faut ajouter à ces équations, l’équation (a, b, c$æ, y) 3 = 0, 
mise sous la forme (c, b, a$y, x) 3 = 0, ou ce qui est la même chose 
y 3 c + 2yxb + & 2 a = 0 ;