232] MÉMOIRE SUR LA FORME CANONIQUE DES FONCTIONS BINAIRES. 45 
en éliminant a, b, c on obtient une équation de laquelle on déduit 
(a, b, c$x, y) 2 = y 2 , -yx, x 2 
a, b , c 
b, c , d 
Mais on peut trouver ce résultat d une manière encore plus facile. Considérant l’équation 
(a, b, c, d\x, y) 3 = A (x + ay) 3 + B (x +/3y) 3 , 
on n’a qu’à opérer sur cette équation en se servant du symbole 
(a, b, 6#d y , — d x ) 2 ; 
le second membre se réduit à zéro à cause des équations (a, b, c][a, —1) 2 = 0, (a, b, c][/3, —1) 2 =0 
que donne l’équation (a, b, c$x, y) 2 = a (x + ay$x + ¡3y). Par conséquent on a identique 
ment 
(a, b, c$d y , -3 x ) 2 {a, b, c, d\x,y) 3 = 0, 
c’est-à-dire 
x (ac — 23b + ca) + y (3c — 2cb + da) = 0, 
ou enfin 
ac — 23b + ca = 0, 
3c — 2cb + da = 0, 
et de là on tire comme auparavant la valeur de la fonction (a, b, c§x, y) 2 . 
Les valeurs des coefficients A, B s’expriment alors en fonctions linéaires des 
coefficients de la fonction cubique, et des quantités a, ¡3 qui sont pour ainsi dire les 
racines de la fonction quadratique (a, b, c§x, y) 2 . 
Il est évident que le procédé suivi dans ce qui précède est tout à fait général, 
et que l’on obtient toujours explicitement la fonction du degré m : par exemple pour 
la fonction du cinquième degré 
(a, 3, c, d, e, fjx, y) 5 
la fonction dont il s’agit sera 
y 3 , - y 2 x, yx 2 , - a? 
a, b , c , d 
b, c , d, e 
c, d , e, f 
et de même dans tous les autres cas. Cette fonction du degré m (laquelle est un 
covariant de la fonction donnée) peut être appelée le canonisant. Pour la fonction du 
cinquième degré le canonisant peut être mis sous cette autre forme 
ax + by, bx + cy, cx + dy 
bx+cy, cx + dy, dx + ey 
ex + dy, dx + ey, ex +fy 
et on démontre facilement qu’il existe toujours une transformation semblable.