NOTE SUE LA COMPOSITION DU NOMBEE 47 PAE EAPPOET 
AUX YINGT-TEOISIÈMES EACINES DE L’UNITÉ. 
[From the Journal für die reine und angewandte MathematiJc, (Crelle), tom. lv. 
(1858), p. 192.] 
M. Kummer a trouvé {Journal de Liouville, t. xn. [1847] p. 208) que le nombre 47 
peut être décomposé en onze facteurs qui se déduisent du suivant a 10 + a 13 + a 8 + a 15 +a 7 +a 18 , 
a désignant une racine 23 ùine de l’unité, et on sait par la théorie générale qu’il doit y 
avoir une puissance 47 ? ^ qui se décompose en vingt-deux facteurs. Le nombre 47 3 peut 
se décomposer en deux facteurs formés avec les demi-périodes des racines ; il était donc 
naturel d’essayer si le facteur (a 10 + a 13 + a 8 + a 15 + a 7 + a 16 ) 3 pourrait se décomposer de 
même en deux facteurs, ce qui donnerait la décomposition de 47 3 en vingt-deux facteurs. 
Mais on démontre très-facilement que cette décomposition n’est pas possible. En effet 
en posant a. K = 1 (A. étant un nombre premier) et en faisant 
A + Ba + ... Ka x ~ l = {a + 6a + ... ka x ~ 2 )(a + ba x_1 + ... ka), 
on aura A = a 2 + b 2 + ... k 2 . Le nombre qui forme le premier membre peut se réduire 
au moyen de l’équation 1 + a + ... a À_1 = 0 à la forme B'a + C'a 2 ... + K'a x ~ l et l’on aura 
B'a + C'a 2 ... + AV -1 = {a + ba+ ... ka x ~*) (a + ba x ~ 1 + ...ka) — (a 2 + b 2 + ... k 2 ) ( 1 + a + ... a A_1 ), 
équation qui subsiste lorsqu’on y fait a=l, ce qui donne 
B' + C' + ... K' = (a + b... k) 2 — \ {a 2 + b 2 + ...k 2 ); 
or, la fonction qui forme le second membre, prise avec le signe négatif peut se mettre 
sous la forme {a — b) 2 + {a — c) 2 + (b — c 2 ) + etc.; donc la décomposition n’existe pas à moins