237] 
THÉORÈME SUR LES DÉTERMINANTS GAUCHES. 
73 
a1234 | /31234 = a/3 . 11 . 22 . 33.44 
+ a/3.12 . 12.33.44 
+ 
+ a/31234 . 1234 
+ al . /31 . 22 . 33.44 
+ 
+ al23 . /3123.44 
4- 
+ a234 . /3234 . 11 
où les expressions a/312, a/313 etc. sont des Pfaffiens. Cela étant, le déterminant 
formé en bordant d’une manière quelconque une matrice gauche et symétrique peut 
se nommer déterminant gauche et symétrique bordé, et la formule fait voir qu’un 
déterminant de cette espèce se réduit toujours au produit de deux Pfaffiens. En effet, 
en écrivant dans les exemples 11=22 = 33 = 44 = 0, on obtient: 
al 23T/3123 = al 23 . /3123, 
al234 | /31234 = a/31234 . 1234, 
et de même pour un déterminant gauche et symétrique bordé quelconque, suivant que 
l’ordre du déterminant est pair ou impair. Je remarque à propos de cela, que 
dans le cas d’un déterminant d’ordre pair, le terme a/3 est multiplié par un mineur 
premier lequel (comme déterminant gauche et symétrique d’ordre impair) se réduit à 
zéro ; le déterminant ne contient donc pas ce terme a/3, et sera par conséquent fonction 
linéo-linéaire des quantités al, a2, etc. et 1/3, 2/3, etc.; de manière qu’on ne saurait 
être surpris de voir ce déterminant se présenter sous la forme d’un produit de deux 
facteurs dont l’un est fonction linéaire de al, a2, etc. et l’autre fonction linéaire de 
1/3, 2/3, etc. Mais pour un déterminant d’ordre impair, le coefficient du terme a/3 ne 
se réduit pas à zéro ; en supposant donc que le déterminant puisse s’exprimer comme 
produit de deux facteurs, il est nécessaire que l’un de ces facteurs soit (comme le 
déterminant même) fonction linéaire de a/3 et linéo-linéaire de al, a2, etc. et 1/3, 2/3, 
etc. ; de cette manière on se rend compte de la différence de la forme des facteurs, 
qui a lieu dans les deux cas dont il s’agit. 
En écrivant /3 = a (ce qui implique aa = 0, car on suppose toujours a/3 = — /3a) le 
déterminant gauche et symétrique bordé se réduit à un déterminant gauche et symé 
trique ordinaire, de plus le Pfaffien a/31234 se réduit à zéro, et les équations deviennent : 
a 123 | a 123 = (al23) 2 , 
a1234 | a1234 = 0 ; 
savoir, quand l’ordre est pair, le déterminant se réduit au carré d’un Pfaffien, et quand 
l’ordre est impair, le déterminant s’évanouit ; ce qui est en effet la propriété fonda 
mentale des déterminants gauches et symétriques. 
2 Stone Buildings, Londres, le 16 Nov. 1857. 
C. IV. 
10