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NOTE SUR LES NORMALES D’UNE CONIQUE. 
[From the Journal für die reine und angewandte Mathematik, (Orelle), tom. LVI. (1859), 
pp. 182—185.] 
On connaît les recherches très élégantes de M. Joachimsthal sur les normales d’une 
conique [voir le Mémoire “ Ueber die Normalen der Ellipse und des Ellipsoids,” Crelle, 
t. xxvi. (1843) pp. 172—180]; en particulier l’auteur a obtenu le théorème suivant: en 
supposant que 1, 2, 3, 4 soient des points d’une conique tels que les quatre normales se 
rencontrent dans un même point, on prend le pôle de la droite (1, 2) par rapport à la 
conique et on mène par ce pôle des perpendiculaires aux diamètres de la conique ; cela 
étant, en prenant sur chaque diamètre dans le sens opposé un point dont la distance du 
centre est égale à la distance du pied de la perpendiculaire sur ce même diamètre, la 
droite menée par ces deux points passe par les deux points 3 et 4. Mais cette propriété 
peut s’énoncer d’une manière beaucoup plus simple ; la droite dont il s’agit est la 
polaire (ou autrement dit l’harmonicale)—par l’apport au triangle formé par les deux 
diamètres et la droite située à l’infini—du pôle de la droite (1, 2) par rapport à la 
conique. Or on sait que l’idée de la perpendiculaire peut être généralisée. Savoir en 
prenant une conique quelconque que nous appelons la conique absolue, deux droites 
harmoniques par rapport à cette conique peuvent être appelées perpendiculaires (et 
de même deux points harmoniques par rapport à la conique absolue peuvent être 
appelés perpendiculaires). Cela posé, on peut parler dans un sens plus général des 
normales, etc. d’une courbe quelconque. En effet, que l’on s’imagine comme auparavant 
(outre la conique absolue) une conique donnée quelconque et quatre points 1, 2, 3 et 4 
de cette conique tels que les normales se rencontrent dans un même point. Au lieu 
du triangle ci-dessus mentionné on a le triangle formé par les trois axes harmoniques 
(ou autrement dit, conjugués) communs aux deux coniques, et le théorème peut s’énoncer 
comme suit : En prenant le pôle de la droite (1, 2) par rapport à la conique donnée 
et puis la polaire (l’harmonicale) de ce pôle par rapport aux axes conjugués de la 
conique donnée et de la conique absolue, cette polaire passe par les deux points