158 
NOTE SUR L ELIMINATION. 
[336 
et dans laquelle {x, y) s ~ x dénote la suite entière des termes sc?- 1 , x s ~ 2 y, ... y s ~\ Nous 
obtenons ainsi une équation 
i( *’ y) ^’p>r nr]=ia ’ - y(b ’ 
c.-à-d. que le quotient est du degré p par rapport aux coefficients (a, ...), du 
degré q par rapport aux coefficients (bet du degré 0 — s + 1 par rapport à 
chaque système de variables (x 1} y x ), ... (x s , y s ). Or en supposant U x = 0, V l = 0, on 
obtient 
0 = {a, ...y (b,...y(au y x )»- s+ '... (x s , y s ) e ~ s+1 , 
équation qui subsiste quelles que soient les valeurs des variables (x 2 , y,),...(x s , y s ) ; 
cela donne une suite de (0 — s + 2)* -1 équations chacune de la forme 
0 = (a, ...y (b, ...y(x 1} y 1 )°~ 8+1 . 
En considérant un système quelconque de 6 — s + 2 de ces équations, pour en éliminer 
tous les termes de (x lt y a ) fl_s+1 , on obtiendra ou l’équation identique 0 = 0, ou une 
équation de la forme 
F=(a, ...)!><«—*+2) ...)ï(s-s+2) =0 
où F sera un déterminant de l’ordre 0 — s + 2, chaque terme étant de la forme 
(a,...y (b,...y 
Cela posé il est évident que F contiendra comme facteur la fonction 
□ = (a, ...) n (b, ...) m 
qui est le résultant des deux équations U = 0, V = 0. En particulier, on aura les deux 
cas que voici : 
1°. Soit 0 = m + n — 1, et supposons que (x, y) n ~ l U, (x, y) m ~ l V, dénotent les suites 
entières 
x n ~ l U, x n ~- y U,... y a ~ l U ; x m ~ 1 V, x m ~~ yV, ... y m ~ l V, 
nous aurons p — n, q = m, s = m + n, 0 — s + 2=1, et de là 
F = (a, ...) n (b, ...)»», 
donc i^=D. On voit sans peine que l’on obtient de cette manière le résultant □, 
sous la forme d’un déterminant de l’ordre m + n, le même que l’on obtient en 
éliminant les termes de (x, y) m + n ~ 1 entre les équations (x, y) n ~ l U — 0, {x, y) m_1 V= 0. 
2°. En supposant ni ^ n, on peut prendre 0 — m, ce qui donne pour (x, y) 9 ^ n U le 
seul terme U. Réduisons aussi (x, y) e ~ n V au seul terme x a y m - n ~ a V (a désignant un