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NOUVELLES RECHERCHES SUR L’ÉLIMINATION 
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Cette proposition auxiliaire peut encore se démontrer de la manière que voici. 
Concevons que P = 0 représente une courbe particulière quelconque du même ordre que 
U = 0 et telle que pour chaque point double de la courbe U = 0 elle ait un point 
double au même point, et que pour chaque point de rebroussement de la courbe U=0, 
elle ait un point de rebroussement au même point et avec la même tangente. Soient 
de même <2 = 0, R = 0,... des équations de courbes qui satisfont aux mêmes conditions. 
Cela posé, on peut évidemment écrire U= aP + bQ + cR+ ... , c’est-à-dire que l’équation 
contiendra linéairement les coefficients absolument arbitraires ou éléments a, b, .... 
Je reviens au théorème dont je suis parti; soit d’abord U={a,...\x, y, z) n = 0 
une courbe sans points doubles ou de rebroussement, de sorte qu’il s’agisse du discri 
minant ordinaire. En écrivant pour plus de simplicité V, W au lieu de U', U", on a 
à considérer la courbe X,F+/aTE = 0 en involution avec les deux courbes V = 0, W = 0. 
Le degré du discriminant de U est égal au nombre des points dont chacun est le 
point double d’une courbe particulière du système X.F + ¡iW = 0. Or pour trouver ces 
points on n’a qu’à former les équations 
Xd x V + W = 0, 
XdyV + fidy W = 0, 
Xd z P + fj,d 2 TE = 0, 
qui expriment que la courbe \V + ¡¿W = 0 a un point double, et d’éliminer entre ces 
équations les indéterminées X, y. Cela donne le système 
d x V, dyV, d z V 
! a æ w, ayW, d z w 
qui comprend les deux équations 
d x V, 
d z v 
(2) 
dyV, 
d z V 
|=o, 
s x w, 
d z w 
dyW, 
a z w | 
auxquelles on satisfait par d z V = 0, 02TE=O, et une troisième équation à laquelle on 
ne satisfait pas par ce dernier système. Or les courbes (1) et (2) se coupent en 
4(w — l) 2 points, mais parmi ceux-ci on a les — l) 2 points d’intersection des courbes 
d z V=0, d z W=0, et en écartant ces points on obtient 4(%— l) 2 — (n—1) 2 = 3 (n — l) 2 
pour le nombre des points, ou ce qui est la même chose pour le degré du discri 
minant de U. 
Je suppose à présent que la courbe <7=0 ait un point double ; les courbes 
V = 0, TE = 0 ont chacune un point double à ce même point, et en prenant ce point 
pour origine des coordonnées x, y les deux courbes seront 
V = z n ~ 2 (a, b, c \x, yY + etc. = 0, 
W = z n ~ 2 (a, b', c'Qx, yY + etc. = 0, 
en dénotant par les etc. les termes des ordres plus élevés par rapport à x, y, ou moins 
élevés par rapport à z.