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NOUVELLES RECHERCHES SUR L’ÉLIMINATION 
= z m ~ G {2 (n - 3) [ax (a', /3y, 8'^x, y) 3 -a’x(a, ¡3, y, 8][x, y) 3 ] 
— S (n — 2) \ax-{a', ¡3', y'][x, y) 3 — a'a? (a, /9, 7$«, y) 2 ]} + etc. 
= z 3n ~ G {— n (cia — a a) x A + etc. x 3 y...} + etc. 
= z m ~ G . x (— n (cia' — a'a),.. .]£#, y) 3 + etc. ; 
la courbe a donc à l’origine un point quadruple et la droite x = 0 y est tangente de 
l’une de ses branches. On a de même pour la courbe (2) 
0 = 
d y V, d z V 
d y w, d 2 w 
{,2 n ~ 3 .3 (/3, y, 8 ì[x, y) 3 + etc.} x {(?i — 2) z n 3 a'x 3 + etc.} 
{,z n ~ 3 . 3 (/S', y, 8'^x, y) 3 4- etc.} x {(n — 2) z n ~ 3 ax- + etc.} 
z- n - fi x 2 {ci ((3, y, 8][x, y) 3 - a (J3\ y', 8'^x, y) 2 } + etc. 
2 m-6 æ 2 ( a 'fi _ yy • 
cette courbe a donc à l’origine un point quadruple et la droite x = 0 y est tangente 
commune de deux de ses branches. Cela donne à l’origine 5 + 4 + 4 +4, =17 points 
d’intersection des courbes (1) et (2). D’autre part on a 
d z V = (n — 2) z n ~ 3 . a x 3 + (n — 3) z n ~ x (a, ¡3 , y , 8 Qx, y) 3 + etc. = 0, 
d z W = (n — 2) z n ~ 3 . cix 3 + (n — 3) z n ~ x (a', /3', y, 8'][x, y) 3 + etc. = 0, 
et en combinant ces deux équations 
z n ~ 3 . ax 3 + etc. = 0, 
z n ~ 4 (cia' — a'a, ..y) 3 + etc. = 0. 
De ces deux équations la première appartient à une courbe qui a un point de rebrousse 
ment à l’origine des coordonnées et la seconde à une courbe qui y a un point triple. 
Pour les deux courbes 9 2 F=0, d z W = 0 cela donne 3 + 3 = 6 points d’intersection à 
l’origine. 
Les courbes (1) et (2) se coupent donc en 4 (n — l) 2 points, savoir 
17 points à l’origine, 4 (n — l) 2 -17 points autrepart, 
les courbes d z V=0, d z W se coupent en (n— l) 2 points, savoir 
6 points à l’origine, (n — l) 2 — 6 points autrepart 
et le système des 3 (n — l) 2 points contient 
11 points à l’origine, 3(?i— l) 2 — 11 points autrepart. 
En écartant les points a 1 origine, on obtient 3 (n — l) 2 —11 points; pour une courbe 
avec un point de rebroussement, le degré du discriminant spécial est donc =3(n-l) 2 —11. 
Comme résultat final de cette recherche j’obtiens que la réduction du degré est de 
7 unités pour un point double et de 11 unités pour un point de rebroussement ; et