300] NOTE RELATIVE AUX DROITES EN INVOLUTION DE M. SYLVESTER, 
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proquement, en prenant dans un plan osculant quelconque de la courbe cubique un 
nombre quelconque (six ou plus) de tangentes d’une même conique, et en reprojetant 
ces tangentes sur la courbe cubique au moyen d’un point quelconque de la courbe 
comme centre de projection (de manière à obtenir pour reprojection de chaque tangente 
une droite qui coupe deux fois la courbe cubique), on obtient un système de droites 
en involution. Le lieu des droites dont chacune coupe deux fois la courbe cubique, et 
qui sont en involution, est une surface réglée du quatrième ordre qui a la courbe 
cubique pour courbe double. En effet, si l’équation en coordonnées tangentielles de la 
conique enveloppée par les droites p x x + q^y + r 1 z = 0, etc. (ou, si l’on veut, par les 
droites p x y + q x z + r 1 u = 0, etc.), est 
(a, b, c, f, g, h) (p, q, rf = 0, 
cette même équation, en y considérant p, q, r comme dénotant yu — z 2 , zy — xu, xz — y 2 , 
autrement dit, l’équation, 
(a, b, c, /, g, h) (yu - z\ zy - xu, xz - y 2 ) 2 = 0, 
sera celle d’une surface du quatrième ordre ayant la courbe cubique pour courbe double. 
Et cette surface sera une surface réglée ; car en menant par un point quelconque de 
la surface une droite qui coupe deux fois la courbe cubique, chaque point d’intersection 
avec la courbe cubique doit compter pour deux points d’intersection avec la surface, et 
la droite coupe la surface en cinq points, c’est-à-dire que cette droite est située entière 
ment dans la surface. 
J’ai remarqué ailleurs (Camb. and Dubl. Math. Journ., t. vu. (1852), p. 172, [107]) 
qu’il y a sur une surface réglée de l’ordre n une courbe double rencontrée par chaque 
génératrice en (n—2) points. Cette courbe double sera de l’ordre (n — 2) au moins, et de 
l’ordre %(n — 1) (n - 2) au plus; donc, pour n = 4<, la courbe double sera de l’ordre 2 ou 3, 
et comme évidemment cette courbe n’est pas une courbe plane, elle sera : ou 1° deux 
droites qui ne se rencontrent pas; ou 2° une courbe cubique en espace. Cette seconde 
espèce des surfaces réglées du quatrième ordre est celle qui se présente dans la théorie 
des droites en involution.