301] SUR LES CÔNES DU SECOND ORDRE QUI PASSENT PAR SIX POINTS DONNÉS. 5
Cette équation est évidemment celle d’une surface du second ordre qui passe par
les six points, et il ne faut qu’une seule condition pour que cette surface soit un
cône : la condition sera
2x, .,
-, -,
•>
2,
y>
u,
• >
•
•
z
x
•
u
•
.
2z .
y
X
.
•
u
.
. 2 u
.
.
.
X
y
z
a 2 /3 2
y 2 ô 2
Æy
ya
a/3
a8
/33
yS
où la fonction à côté gauche est de même un déterminant de l’ordre dix ; cette
équation, laquelle est de l’ordre quatre par rapport à {x, y, z, u), sera celle du lieu
du sommet.
En effet, pour que la surface du second ordre soit un cône ayant pour sommet le
point (x, y, z, u), il faut et il suffît que les équations dérivées par rapport à chacune
des coordonnées (X, F, Z, JJ), soient satisfaites en y écrivant {x, y, z, u) au lieu de
(X, Y y Z, JJ). Je forme l’équation dérivée par rapport à X, et j’y écris (x, y, z, u) au
lieu de (X, Y, Z, U); l’équation est
., 2x,
X 2x
z, y, u,
z y u
Or on ne change pas la valeur du déterminant en substituant pour la première ligne
cette même ligne moins la seconde ligne ; l’équation devient ainsi :
À,, ., .,
X 2x .
• ) *5 • ) • J
z y u
= 0;
et le déterminant se réduit à — X multiplié par le déterminant de l’ordre dix ; donc,
en supposant que ce dernier déterminant se réduise à zéro, l’équation dérivée par
rapport à X sera satisfaite ; et de même, les équations dérivées par rapport à Y, Z, TJ,
en substituant toujours (x, y, z, u) au lieu de (X, F, Z, TJ), seront toutes satisfaites si
le déterminant de l’ordre dix se réduit à zéro. c. Q. F. D.
Il convient de remarquer que l’on peut sans perte de généralité réduire à zéro
trois quelconques des quantités X, y,, v, p ; de là on obtient l’équation du cône en
substituant, au lieu de l’une quelconque des premières quatre lignes du déterminant
de l’ordre dix, la ligne
| X 2 , F 2 , X, U\ YZ, ZX, XF, XTJ, YU, ZU |.
En considérant la courbe cubique par les six points, on peut supposer que les
équations de cette courbe soient
