DONNÉS. [301
302]
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CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES COURBES EN ESPACE.
[From the Comptes Rendus de VAcadémie des Sciences de Paris, tom. liv. {Janvier—
Juin, 1862), pp. 55—60, 396—400, 672—678.]
Soit une courbe donnée du m ieme ordre ; je suppose toujours que cette courbe
soit une courbe propre, savoir qu’elle n’est pas composée de courbes d’ordres inférieurs.
Si nous prenons pour sommet d’un cône qui passe par la courbe un point A quel
conque qui n’est pas sur la courbe, ce cône sera de l’ordre m ; cela est vrai en général
quelle que soit la courbe ; seulement si m est un nombre composé, alors pour de
certaines courbes il peut y avoir des positions de A pour lesquelles le cône sera d’un
ordre sous-multiple de m ; mais en faisant abstraction de ces positions particulières, le
cône sera de l’ordre m. Et, cela étant, une droite du cône ne contiendra en général
qu’un seul point de la courbe. En employant quatre coordonnées {x, y, z, w) et en
supposant qu’au point A on ait
x = 0, y — 0, z = 0,
l’équation du cône sera U = 0, où U est une fonction homogène de (x, y, z) de l’ordre
m. On peut faire passer par la courbe une surface ayant pour équation
Qw — P = 0
^ou w ~^qJ > où P, Q sont des fonctions homogènes de (x, y, z) des ordres p, p — 1
respectivement. Et on peut supposer que p soit égal tout au plus à m — 1 : en effet, en
prenant p = m — 1, l’équation contiendrait
^ {m — 1) m + \ m {m 4-1) — 1,
c’est-à-dire m 2 — 1 constantes arbitraires ; et en déterminant convenablement m 2 — m +1
de ces quantités, la surface de l’ordre m — 1 passera par m 2 — m +1 points de la
courbe de l’ordre m, c’est-à-dire cette surface contiendra la courbe entière. De cette
manière, on obtiendrait toujours une surface de l’ordre m — 1 ; mais si les fonctions P, Q
