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CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES COURBES EN ESPACE.
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ainsi trouvées avaient un facteur commun, ce facteur devrait être écarté ; il convient donc
de supposer que les degrés de P, Q soient p, p — 1 respectivement, p étant tout au
plus égal à to — 1. La surface Qw — P = 0 a au point A un point conique du
(p — V) ième ordre; en effet dans le voisinage de ce point l’équation se réduit à Q= 0,
laquelle appartient à un cône du (p — \y eme ordre. J’ajoute que la surface contient les
p (p — 1) droites P = 0, Q = 0 qui passent chacune par le point A ; toute autre droite
par ce point rencontre la surface dans ce point (lequel compte pour p — 1 points
d’intersection) et encore dans un seul point donné par l’équation
On peut appeler monoïde une telle surface ; le point A sera le sommet ; le cône
P = 0 le cône supérieur ; le cône Q = 0, le cône inférieur ; les droites d’intersection de
ces deux cônes, les droites de la monoïde.
Or le cône circonscrit TJ= 0 et la monoïde Qw — P — 0 se coupent selon une
courbe de l’ordre mp : si p — 1, cette intersection des deux surfaces sera la courbe du
m ième 01T ] re) laquelle sera une courbe plane ; mais, dans tout autre cas, la courbe
d’intersection sera composée de la courbe du m ieme ordre, et d’un autre système de
l’ordre m(p — 1) ; ce système ne peut être autre chose que les droites d’intersection
du cône circonscrit U = 0, et du cône inférieur Q = 0 de la monoïde ; c’est-à-dire les
équations
U = 0, Q = 0
doivent donner P = 0 ; car, cela étant, les droites U = 0, Q = 0 seront situées sur la
monoïde ; et ces droites, lesquelles forment un système de l’ordre to (p — 1), seront partie
de l’intersection de la monoïde et du cône circonscrit U = 0. Et il est nécessaire que
cela soit ainsi, car autrement chaque droite du cône [7 = 0 ne contiendrait sur la
monoïde que le point A, et le point déterminé par l’équation w = -^r, lequel est un
V
point sur la courbe du m ième ordre ; donc cette autre partie de l’intersection de la
monoïde et du cône U= 0 serait, non pas une courbe quelconque, mais le seul point
A ; ce qui est absurde.
Le cône circonscrit U = 0 ne peut pas être un cône quelconque à moins que
p = 1; en effet si p > 1, il est nécessaire que le cône ait au moins (p — l)m droites
doubles (en comprenant dans cette locution le cas où le cône a des singularités qui
équivalent à (p—l)m droites doubles), car en supposant pour un moment que le cône
[7 = 0 n’ait pas de singularités, le cône P = 0 de l’ordre p devrait passer par les
(p — 1)to droites d’intersection du cône Q = 0 de l’ordre (^ — 1) et du cône U= 0
de l’ordre to; or to est au moins égal à p+1, de manière que le cône P — 0 doit
passer au moins par (p 2 — 1) droites du cône Q = 0; mais p 2 — 1 est >p 2 —p, à moins
que p = 1 ; donc ce cône P = 0 serait composé du cône Q = 0 et d’un plan P' = 0 par
le point A ; c’est-à-dire P = QP\ et l’équation de la monoïde se réduirait à w = P', ou
l’on aurait p = 1, ce qui est contraire à l’hypothèse. On obtiendra le même résultat à
