A.CE. 
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302] CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES COURBES EN ESPACE. 
il convient donc 
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’ait à w = F, ou 
même résultat à 
moins de supposer que le cône Q = 0 passe par un certain nombre x de droites 
doubles du cône U = 0 ; mais en faisant cette supposition, chacune de ces droites 
compte pour deux intersections des cônes Q = 0, U = 0; il y a encore {p — l)m — 2x 
droites d’intersection ; et les x + {(p — 1 ) m — 2xj, c’est-à-dire (p-l)m-x droites peuvent 
être comprises parmi les p (p — 1) droites de la monoïde si x est égal au moins à 
(p — 1) (m — p) ; c’est-à-dire le cône U= 0 doit avoir au moins ce nombre de droites 
doubles. Je remarque que pour m impair, et p — ^{m + 1), le nombre sera ¿(m 2 — 2m+ 1), 
et pour m pair, et p = \m ou \rn + 1, le nombre sera J (m 2 — 2m) ; mais pour toute autre 
valeur de p, le nombre sera moins élevé. 
Je résume comme suit : 
Toute courbe du m ième ordre est l’intersection d’un cône circonscrit U = 0, du 
m ième ordre, et d’une surface monoïde Qw — P, de l’ordre p = m — 1 au plus. L’inter 
section complète de deux surfaces est composée de la courbe du m iem£ ordre et des 
m (p — 1) droites d’intersection du cône circonscrit U = 0, et du cône inférieur Q = 0 de 
la monoïde. Ces droites seront (p — 1) (m — p) + a droites, chacune répétée deux fois, et 
(p — 1) (2p — m) — 2a droites, où a peut être égal à zéro ; chacune des (p — 1) (m — p) + a 
droites sera une droite double du cône TJ= 0; et les (p — 1) (m — p) + a droites et 
(p — 1) (2p — m) — 2a droites, ensemble p (p — 1) — a droites, seront situées sur le cône 
supérieur P = 0 de Ja monoïde. 
Il y a deux circonstances qui empêchent que cette théorie ne conduise tout de 
suite à une classification des courbes en espace. D’abord, une droite double du cône 
U — 0 peut correspondre ou à un point double réel, ou à un point double apparent 
de la courbe ; et de même en supposant que la droite double devienne une droite de 
rebroussement, cette droite peut ou correspondre à un point de rebroussement (point 
stationnaire) de la courbe, ou la droite peut être une tangente ordinaire de la courbe, 
sans qu’il ait sur la courbe aucune singularité qui corresponde à cette droite de 
rebroussement (voir le Mémoire de M. Salmon : “ On the classification of curves of 
double curvature,” Camb. et Dubl. Math. Journ., t. v. pp. 23—46, 1850). 
Puis, étant donnée l’équation U = 0 du cône circonscrit, la monoïde n’est pas une 
surface déterminée, et il n’est guère facile de voir quel doit être l’ordre de cette 
P 
surface. En effet, cette équation étant w = -~ , il peut y avoir des fonctions P, Q' 
telles que PQ'-P'Q=MU, et, cela étant, puisqu’il ne s’agit que de l’intersection avec 
P . P' 
le cône U = 0, on pourrait remplacer l’équation par celle-ci, w = jy, laquelle peut 
être d’un ordre inférieur. 
Ces difficultés se présentent dès le commencement. En effet soit m = 3. On a 
p— 1 ou p = 2, mais p = 1 ne donne que la cubique plane; je suppose donc p = 2. Le 
cône U = 0 du troisième ordre aura une droite double, laquelle peut être une droite 
de rebroussement. 
L’équation de la monoïde sera w = 
P 
Q 
, où Q = 0 est l’équation d’un 
C. Y. 
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