CONSIDERATIONS GENERALES SUR LES COURBES EN ESPACE. 
plan qui passe par le point double ou de rebroussement, et qui coupe ainsi le cône 
U = 0 selon une autre droite ; et Qw — P = 0 est l’équation d’un cône du second ordre 
qui passe par ces deux droites. Mais soit que le cône U = 0 ait une droite double, soit 
que cette droite soit de rebroussement, on n’obtient qu’une seule espèce de courbe 
cubique ; au premier cas le sommet n’est pas situé, au deuxième cas ce sommet est 
situé, sur une tangente de la courbe cubique ; voilà toute la différence. 
Soit encore m= 4; on peut avoir p — 1, 2 ou 3; mais |i=l ne donne que les 
courbes planes du quatrième ordre, je suppose donc p= 2 ou p = 3 ; dans l’un ou l’autre 
cas, le cône U—0 du quatrième ordre doit avoir au moins deux droites doubles. Il 
peut donc y avoir seulement deux droites doubles; l’une de ces droites peut être une 
droite de rebroussement, ou toutes les deux peuvent être de telles droites. Ou encore, 
il peut y avoir trois droites doubles ; l’une de ces droites peut être une droite de 
rebroussement, ou deux droites ou toutes les trois peuvent être de telles droites. Il y 
a donc un assez grand nombre de cas à considérer ; mais on sait qu’il n’y a que 
quatre espèces en tout, savoir : 1° la courbe d’intersection de deux surfaces du second 
ordre qui ne se touchent pas, courbe que je nomme quadriqucidrique générale ; 2° les 
deux surfaces du second ordre peuvent se toucher ; la courbe d’intersection sera une 
quartique nodale ; 3° les deux surfaces peuvent avoir un contact singulier, la courbe 
d’intersection sera une quartique cuspidale ; 4° il y a enfin la courbe du quatrième 
ordre qui n’est située que sur une seule surface du second ordre, et que l’on n’obtient 
qu’au moyen d’une surface du troisième ordre : ce sera la courbe excubo-quartique. Je 
remarque en passant que les quartiques nodale et cuspidale sont des sous-espèces tant 
de l’excubo-quartique que de la quadriquadrique. En supposant que le cône 17= 0 
n’ait que deux droites doubles ou de rebroussement, et soit que p = 2 ou |) = 3, on 
obtiendra par la théorie actuelle la quadriquadrique générale (cela est évident par les 
formules du Mémoire cité de M. Salmon). Si le cône U = 0 a trois droites doubles 
ou de rebroussement, alors soit que p = 2 ou p= 3, on obtiendra, selon les circonstances, 
ou l’excubo-quartique, ou la quartique nodale, ou la quartique cuspidale (mais non pas 
cette dernière, à moins qu’il n’y ait au moins une droite de rebroussement). Mais il 
faudrait pour tout cela une discussion plus approfondie. 
Je remarque qu’en prenant le point A sur la courbe du m iè,ne ordre, l’on aurait 
eu, au lieu du cône U = 0 du m ième ordre, un cône du (m — l) ième ordre, et l’ordre du 
cône se réduirait encore si le point A était un point multiple de la courbe. Peut- 
être il conviendrait de considérer de tels cônes au lieu du cône du m ième ordre. 
En conclusion, je fais les réflexions que voici, savoir: Si S = 0, T= 0 sont des 
surfaces quelconques qui passent par la courbe du m ieme ordre, alors en éliminant entre 
ces équations la coordonnée iu, on obtient une équation 
£ = 0, T 
(en repré 
on aura 
plusieurs 
d’intersect 
en admet 
par Tinte 
la courbe 
donner ï 
serait une 
P.S. 
ordre (voi 
Mag., Jul 
les Compt 
ordre (hyj 
m ieme ordì 
que ces 
nombres 
multiples 
du m ie '“ e 
la plus h 
y, on arm 
ce qui fa 
y = 0, * = 
M. Chasle 
en se sou 
Toute 
sommet 
conque d